Algebra Esempi

$\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{6 x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{6} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} (- {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{6}$ e ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$- \frac{{(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}}{6} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2

Sposta ${(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 10.4

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1] + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 11

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 14.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 14.2

Moltiplica $\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 15

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 16

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 17

Per scrivere ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 18

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 20.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20.5

Dividi $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + {(x - 1)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 21.1

Semplifica ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + (x - 1) \cdot 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 1$ .

$- \frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{x + 2 \cdot (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Moltiplica $\frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (6 {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 23

Moltiplica $6$ per $2$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Applica la regola del prodotto a $x {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x + 2 (x - 1)}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 24.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{x + 2 x + 2 \cdot - 1}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 24.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{x + 2 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 24.3.2

Somma $x$ e $2 x$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 24.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 24.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 24.4.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 24.4.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 24.4.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 24.4.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} {(x - 1)}^{1})}$

Passaggio 24.4.2

Semplifica.

$- \frac{3 x - 2}{12 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} (x - 1))}$

Passaggio 24.4.3

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{1}))}$

Passaggio 24.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + 1})}$

Passaggio 24.4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}})}$

Passaggio 24.4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{3 x - 2}{12 (x^{2} {(x - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}})}$

Passaggio 24.4.7

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{3 x - 2}{12 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$