Algebra Esempi

$x^{2} - 9 y^{3} = \ln (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 9 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 9 y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 y^{3}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x - 9 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 x - 9 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} y')$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$2 x - 27 y^{2} y'$

Passaggio 2.3

Riordina i termini.

$- 27 y^{2} y' + 2 x$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{y}$ e $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- 27 y^{2} y' + 2 x = \frac{y'}{y}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$(- 27 y^{2} y' + 2 x) y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $(- 27 y^{2} y' + 2 x) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 27 y^{2} y' y + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Sposta $y$ .

$- 27 (y \cdot y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 27 (y^{1} y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 27 y^{1 + 2} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 27 y^{3} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.1.1.3

Sposta $y^{3}$ .

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = y'$

Passaggio 5.3

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y - y' = 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 27 y' y^{3} - y' = - 2 x y$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- 27 y' y^{3} - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y'$ da $- 27 y' y^{3}$ .

$y' (- 27 y^{3}) - y' = - 2 x y$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 27 y^{3} - 1) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- 27 y^{3}$ come ${(- 3 y)}^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1^{3}) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = - 3 y$ e $b = 1$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3 y)}^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.7

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 3 y$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3)}^{2} y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.7.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.7.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1^{2})) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.7.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.7.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$

Passaggio 5.3.8

Dividi per $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ ciascun termine in $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Dividi per $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ ciascun termine in $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ .

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3 y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.2.2

Elimina il fattore comune di $9 y^{2} - 3 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1 (1)) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.3.5.1

Riscrivi $- (3 y + 1)$ come $- 1 (3 y + 1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- 1 (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 5.3.8.3.5.4

Moltiplica $\frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$ per $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$