Algebra Esempi

$\frac{2}{x + 1} \geq \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 1

Risolvi $- 1 < x < 2 or x \geq 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{1}{x - 2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} \geq 0$

Passaggio 1.2

Semplifica $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $\frac{2}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \geq 0$

Passaggio 1.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{x - 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \geq 0$

Passaggio 1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 1) (x - 2)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{2}{x + 1}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \geq 0$

Passaggio 1.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x - 2}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} \geq 0$

Passaggio 1.2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x - 4 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x - 4 - x - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.5.5

Sottrai $x$ da $2 x$ .

$\frac{x - 4 - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.2.5.6

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Passaggio 1.3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 1.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.6

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 5$

$x = - 1$

$x = 2$

Passaggio 1.8

Consolida le soluzioni.

$x = 5, - 1, 2$

Passaggio 1.9

Trova il dominio di $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ .

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Passaggio 1.9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 1.9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.9.2.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.9.2.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.9.2.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.9.2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.9.2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 1.9.2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 1.9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - 1, 2$

Passaggio 1.9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 1.10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 1.11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 1.11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 1.11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(- 4) + 1} \geq \frac{1}{(- 4) - 2}$

Passaggio 1.11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{6}$ è minore del lato destro di $- 0.1\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.11.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(0) + 1} \geq \frac{1}{(0) - 2}$

Passaggio 1.11.2.3

Il lato sinistro di $2$ è maggiore del lato destro di $- 0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.11.3

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 1.11.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(4) + 1} \geq \frac{1}{(4) - 2}$

Passaggio 1.11.3.3

Il lato sinistro di $0.4$ è minore del lato destro di $0.5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 1.11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 1.11.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(8) + 1} \geq \frac{1}{(8) - 2}$

Passaggio 1.11.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{2}$ è maggiore del lato destro di $0.1\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Vero

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Vero

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

Passaggio 1.12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < 2$ o $x \geq 5$

Passaggio 2

Utilizza la diseguaglianza $- 1 < x < 2 or x \geq 5$ per creare la notazione dell'insieme.

${x | - 1 < x < 2 or x \geq 5}$

Passaggio 3