Algebra Esempi

$\sin (y) + \cos (x) = 1$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (\sin (y) + \cos (x)) = \frac{d}{d y} (1)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (y) + \cos (x)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\sin (y)$ rispetto a $y$ è $\cos (y)$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$\cos (y) - \sin (u) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$\cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\cos (y) - \sin (x) x'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- \sin (x) x' + \cos (y)$

Passaggio 3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \sin (x) x' + \cos (y) = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- \sin (x) x' + \cos (y)$ .

$- x' \sin (x) + \cos (y) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $\cos (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x' \sin (x) = - \cos (y)$

Passaggio 5.3

Dividi per $- \sin (x)$ ciascun termine in $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- \sin (x)$ ciascun termine in $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x' = \frac{\cos (y)}{\sin (x)}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi $\frac{\cos (y)}{\sin (x)}$ come un prodotto.

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scrivi $\cos (y)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5.3.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Dividi $\cos (y)$ per $1$ .

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$x' = \cos (y) \csc (x)$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \cos (y) \csc (x)$