Algebra Esempi

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ e $g (y) = 10 x^{3} + 7$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.6

Differenzia.

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Passaggio 3.6.1

$\frac{3}{2}$ e ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Passaggio 3.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x^{3} + 7$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.6.3

Poiché $10$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $10 x^{3}$ rispetto a $y$ è $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{3}$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.8

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

Passaggio 3.10

Poiché $7$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $7$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

Passaggio 3.11

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.11.1

Somma $30 x^{2} x'$ e $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

Passaggio 3.11.2

$30$ e $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

Passaggio 3.11.3

Moltiplica $3$ per $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

Passaggio 3.11.4

$x^{2}$ e $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

Passaggio 3.11.5

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ e $x'$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

Passaggio 3.11.6

Scomponi $2$ da $x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

Passaggio 3.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.12.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

Passaggio 3.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

Passaggio 3.12.4

Dividi $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ per $1$ .

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

Passaggio 3.13

Riordina i fattori di $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Passaggio 5.2

Dividi per $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ .

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.6

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$