Algebra Esempi

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d u} (z) = \frac{d}{d u} ((u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}})$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $u$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ è $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ dove $f (u) = u^{3} - {z'}^{3}$ e $g (u) = e^{u^{3} + {z'}^{3}}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) \frac{d}{d u} [e^{u^{3} + {z'}^{3}}] + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ è $f' (g (u)) g' (u)$ dove $f (u) = e^{u}$ e $g (u) = u^{3} + {z'}^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{3} + {z'}^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.3.3

Poiché ${z'}^{3}$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di ${z'}^{3}$ rispetto a $u$ è $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.3.4

Somma $3 u^{2}$ e $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Passaggio 3.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $u^{3} - {z'}^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Passaggio 3.3.7

Poiché $- {z'}^{3}$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $- {z'}^{3}$ rispetto a $u$ è $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0)$

Passaggio 3.3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.8.1

Somma $3 u^{2}$ e $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2})$

Passaggio 3.3.8.2

Riordina i termini.

$3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} u^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.2.1

Sposta $u^{3}$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} (u^{3} u^{2}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 5.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{3 + 2} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $3$ e $2$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$ .

$z' = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$

Passaggio 6

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d u}$ .

$\frac{d z}{d u} = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$