Algebra Esempi

$\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)} = \frac{1}{\tan (2 x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\frac{1}{\tan (2 x)}$

Passaggio 2

Applica l'identità a doppio angolo della tangente.

$\frac{1}{\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}}$

Passaggio 3

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 3.1

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}}$

Passaggio 3.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}}$

Passaggio 3.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ per $1$ .

$\frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ come ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.4

$2$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ per $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.6.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.6.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Passaggio 4.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Passaggio 4.8

Combina.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))}$

Passaggio 4.9

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ e ${\cos (x)}^{2}$ .

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Passaggio 4.9.1

Scomponi $\cos (x)$ da $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))}$

Passaggio 4.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.9.2.1

Scomponi $\cos (x)$ da ${\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \sin (x)))}$

Passaggio 4.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \sin (x)))}$

Passaggio 4.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) (2 \sin (x))}$

Passaggio 4.10

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{2 \cos (x) \sin (x)}$ come $\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)}$ .

$\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)}$

Passaggio 6

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{2 \tan (x)} = \frac{1}{\tan (2 x)}$ è un'identità