Algebra Esempi

$2 - \log_{3} (x + 1)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 2 - \log_{3} (y + 1)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $2 - \log_{3} (y + 1) = x$ .

$2 - \log_{3} (y + 1) = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \log_{3} (y + 1) = x - 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ .

$\frac{- \log_{3} (y + 1)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\log_{3} (y + 1)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.2.2

Dividi $\log_{3} (y + 1)$ per $1$ .

$\log_{3} (y + 1) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x}{- 1}$ .

$\log_{3} (y + 1) = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x$ come $- x$ .

$\log_{3} (y + 1) = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$\log_{3} (y + 1) = - x + 2$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\log_{3} (y + 1) = - x + 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{- x + 2} = y + 1$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $y + 1 = 3^{- x + 2}$ .

$y + 1 = 3^{- x + 2}$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3^{- x + 2} - 1$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ è l'inverso di $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- (2 - \log_{3} (x + 1)) + 2} - 1$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 1 \cdot 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3

Moltiplica $- - \log_{3} (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + 1 \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.3.2

Moltiplica $\log_{3} (x + 1)$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Passaggio 4.2.3.2

Combina i termini opposti in $- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{0 + \log_{3} (x + 1)} - 1$

Passaggio 4.2.3.2.2

Somma $0$ e $\log_{3} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Passaggio 4.2.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 1 - 1$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (3^{- x + 2} - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2} + 0)$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $3^{- x + 2}$ e $0$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2})$

Passaggio 4.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $- x + 2$ dall'esponente.

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \log_{3} (3))$

Passaggio 4.3.4.2

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \cdot 1)$

Passaggio 4.3.4.3

Moltiplica $- x + 2$ per $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - (- x + 2)$

Passaggio 4.3.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.3.4.5

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.3.4.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Passaggio 4.3.4.6

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 2$

Passaggio 4.3.5

Combina i termini opposti in $2 + x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = x + 0$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ è l'inverso di $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$