Algebra Esempi

$- 2 \ln (x + 1)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = - 2 \ln (y + 1)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 \ln (y + 1) = x$ .

$- 2 \ln (y + 1) = x$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (y + 1) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \ln (y + 1) = x$ .

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\ln (y + 1)$ per $1$ .

$\ln (y + 1) = \frac{x}{- 2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$

Passaggio 2.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y + 1)} = e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 2.4

Riscrivi $\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = y + 1$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ è l'inverso di $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- 2 \ln (x + 1)}{2}} - 1$

Passaggio 4.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2}} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 (1)}} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 \cdot 1}} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- \ln (x + 1)}{1}} - 1$

Passaggio 4.2.3.1.2.4

Dividi $- \ln (x + 1)$ per $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $- - \ln (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{1 \ln (x + 1)} - 1$

Passaggio 4.2.3.2.2

Moltiplica $\ln (x + 1)$ per $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Passaggio 4.2.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 1 - 1$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (e^{- \frac{x}{2}} - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln ((e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1)$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}} + 0)$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $e^{- \frac{x}{2}}$ e $0$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 4.3.4

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $- \frac{x}{2}$ dall'esponente.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot 1)$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \frac{- x}{2}$

Passaggio 4.3.7.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Passaggio 4.3.7.3

Elimina il fattore comune.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Passaggio 4.3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 1 (- x)$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 1 x$

Passaggio 4.3.8.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ è l'inverso di $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$