Algebra Esempi

$t (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 - 5 \cdot 1 + 20 (1) - 16$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5 + 20 (1) - 16$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $20$ per $1$ .

$1 - 5 + 20 - 16$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 4$ e $20$ .

$16 - 16$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(- 4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(20)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(16)$ per il divisore $(1)$ e posiziona il risultato di $(16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 16)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 4) x + 16$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Passaggio 7

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) + x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

$(x - 1) x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

Passaggio 8

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 4)$

Passaggio 9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 2^{2})$

Passaggio 10

Scomponi.

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Passaggio 10.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) + (x - 4) ((x + 2) (x - 2))$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) + (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

Passaggio 11

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 11.1

Scomponi $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 11.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 11.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 11.1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 11.1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Passaggio 11.1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Passaggio 11.1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 16$

Passaggio 11.1.3.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5 + 20 \cdot 1 - 16$

Passaggio 11.1.3.5

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 + 20 \cdot 1 - 16$

Passaggio 11.1.3.6

Moltiplica $20$ per $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Passaggio 11.1.3.7

Somma $- 4$ e $20$ .

$16 - 16$

Passaggio 11.1.3.8

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 11.1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Passaggio 11.1.5

Dividi $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ per $x - 1$ .

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Passaggio 11.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Passaggio 11.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Passaggio 11.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 11.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 11.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Passaggio 11.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 11.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Passaggio 11.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 11.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 11.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 11.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Passaggio 11.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Passaggio 11.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 11.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} + 4 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Passaggio 11.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

Passaggio 11.1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Passaggio 11.1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Passaggio 11.1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Passaggio 11.1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x - 16$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Passaggio 11.1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

$0$

Passaggio 11.1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Passaggio 11.1.6

Scrivi $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Passaggio 11.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 1) ((x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16) = 0$

Passaggio 11.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 1) (x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)) = 0$

Passaggio 11.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 4$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Passaggio 11.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Passaggio 11.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Passaggio 11.5.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 11.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 13

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 14

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 15

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 15.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 16

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 16.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 17

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 1, 4, - 2, 2$

Passaggio 18