Algebra Esempi

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{7}{2}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.2

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.5

$3$ e $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $3$ per $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.7

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.8

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.9

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.10

Moltiplica $- 21 (\frac{343}{8})$ .

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Passaggio 4.1.10.1

$- 21$ e $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.10.2

Moltiplica $- 21$ per $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.12

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.13

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.14

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.15

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 4.1.15.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.16

Moltiplica $- 1$ per $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Passaggio 4.1.17

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.17.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

Passaggio 4.1.17.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

Passaggio 4.1.17.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

Passaggio 4.1.18

Moltiplica $12$ per $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $7203$ da $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 49$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 49}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 49}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $84$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{84}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{84}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.7

Scrivi $- 35$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $\frac{- 35}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $\frac{- 35}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 49$ per $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $84$ per $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica $- 35$ per $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $- 392$ e $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $280$ da $280$ .

$\frac{0}{8}$

Passaggio 4.6.3

Dividi $0$ per $8$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{7}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{7}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(6)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(6)$ per il divisore $(\frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(21)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(\frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(\frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 14)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Passaggio 6.9

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(10)$ per il divisore $(\frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(35)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Passaggio 6.10

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

Passaggio 6.11

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

Passaggio 6.12

Semplifica il polinomio quoziente.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $6 x^{3} - 4 x + 10$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $6 x^{3}$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $10$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

Passaggio 7.4

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

Passaggio 7.5

Scomponi $2$ da $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

Passaggio 8

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

Passaggio 9