Algebra Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 49, \pm \frac{49}{2}, \pm 343, \pm \frac{343}{2}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - \frac{7}{2}$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$2 (- \frac{343}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 (- \frac{343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{343}{8}$ nel numeratore.

$2 (\frac{- 343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.5.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \frac{- 343}{2 (4)} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- 343}{2 \cdot 4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 4.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.10

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{49}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.11

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (\frac{49}{4}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.12

Moltiplica $7 (\frac{49}{4})$ .

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Passaggio 4.1.12.1

$7$ e $\frac{49}{4}$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{7 \cdot 49}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.12.2

Moltiplica $7$ per $49$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.1.13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{2}$ nel numeratore.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (\frac{- 7}{2}) + 343$

Passaggio 4.1.13.2

Scomponi $2$ da $98$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 (49) \frac{- 7}{2} + 343$

Passaggio 4.1.13.3

Elimina il fattore comune.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 \cdot 49 \frac{- 7}{2} + 343$

Passaggio 4.1.13.4

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 49 \cdot - 7 + 343$

Passaggio 4.1.14

Moltiplica $49$ per $- 7$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} - 343 + 343$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 343 + 343 + \frac{- 343 + 343}{4}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 343$ e $343$ .

$- 343 + 343 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 343$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 343}{1} + 343 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 343}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343}{1} \cdot \frac{4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 343}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $343$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{343}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{343}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 343 \cdot 4 + 343 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 343$ per $4$ .

$\frac{- 1372 + 343 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $343$ per $4$ .

$\frac{- 1372 + 1372}{4}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $- 1372$ e $1372$ .

$\frac{0}{4}$

Passaggio 4.6.2

Dividi $0$ per $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- \frac{7}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + \frac{7}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343}{x + \frac{7}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- \frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 7)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(- \frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(98)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$	$98$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(98)$ per il divisore $(- \frac{7}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 343)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(343)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 0 x + 98$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} + 98$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 98$ .

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Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2}) + 98)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $98$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot 49)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 \cdot 49$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2} + 49))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{3} + 7 x^{2}) + 98 x + 343 = 0$

Passaggio 8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (2 x + 7) + 49 (2 x + 7) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 7$ .

$(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

Passaggio 10

Imposta $2 x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $2 x + 7$ uguale a $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 x + 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 7$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 7$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 7$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{7}{2}$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} + 49$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} + 49$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} + 49 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $49$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 49$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Riscrivi $- 49$ come $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Passaggio 11.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (49)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Passaggio 11.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Passaggio 11.2.3.4

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Passaggio 11.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 7$

Passaggio 11.2.3.6

Sposta $7$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 7 i$

Passaggio 11.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 7 i$

Passaggio 11.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 7 i$

Passaggio 11.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 7 i, - 7 i$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$ vera.

$x = - \frac{7}{2}, 7 i, - 7 i$

Passaggio 13