Algebra Esempi

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Passaggio 1.1.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

$2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 2$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2} + 1)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 1 > 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} > - 1$

Passaggio 2.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 2.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{- 2 {(- 4)}^{2} + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 32 + 2}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Somma $- 32$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{({(- 4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $16$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 30}{289}$

Passaggio 4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{30}{289}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{30}{289}$ .

$- \frac{30}{289}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Passaggio 5.2.3

Dividi $2$ per $1$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 1, 1)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = \frac{- 2 {(4)}^{2} + 2}{{({(4)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 2 \cdot 16 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f'' (4) = \frac{- 32 + 2}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 32$ e $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(4^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{{(16 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $16$ e $1$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{17^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{- 30}{289}$

Passaggio 6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (4) = - \frac{30}{289}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{30}{289}$ .

$- \frac{30}{289}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 1, 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8