Algebra Esempi

${(y z + 1)}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(y z + 1)}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $y z$ e $b$ $1$ nell'espressione.

$1 {(y z)}^{5} {(1)}^{0} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sposta ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 {(y z)}^{5} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica ${(1)}^{0}$ per $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} {(y z)}^{5} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1^{0 + 1} {(y z)}^{5} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.1.3

Somma $0$ e $1$ .

$1^{1} {(y z)}^{5} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.2

Semplifica $1^{1} {(y z)}^{5}$ .

${(y z)}^{5} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.3

Applica la regola del prodotto a $y z$ .

$y^{5} z^{5} + 5 {(y z)}^{4} {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.4

Applica la regola del prodotto a $y z$ .

$y^{5} z^{5} + 5 (y^{4} z^{4}) {(1)}^{1} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.5

Calcola l'esponente.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} \cdot 1 + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 {(y z)}^{3} {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.7

Applica la regola del prodotto a $y z$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 (y^{3} z^{3}) {(1)}^{2} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} \cdot 1 + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.9

Moltiplica $10$ per $1$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 {(y z)}^{2} {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.10

Applica la regola del prodotto a $y z$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 (y^{2} z^{2}) {(1)}^{3} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.11

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} \cdot 1 + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.12

Moltiplica $10$ per $1$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 {(y z)}^{1} {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.13

Semplifica.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 (y z) {(1)}^{4} + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z \cdot 1 + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.15

Moltiplica $5$ per $1$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + 1 {(y z)}^{0} {(1)}^{5}$

Passaggio 4.16

Moltiplica $1$ per ${(1)}^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.16.1

Sposta ${(1)}^{5}$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + {(1)}^{5} \cdot 1 {(y z)}^{0}$

Passaggio 4.16.2

Moltiplica ${(1)}^{5}$ per $1$ .

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Passaggio 4.16.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $1$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + {(1)}^{5} \cdot 1^{1} {(y z)}^{0}$

Passaggio 4.16.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + 1^{5 + 1} {(y z)}^{0}$

Passaggio 4.16.3

Somma $5$ e $1$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + 1^{6} {(y z)}^{0}$

Passaggio 4.17

Semplifica $1^{6} {(y z)}^{0}$ .

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + 1^{6}$

Passaggio 4.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y^{5} z^{5} + 5 y^{4} z^{4} + 10 y^{3} z^{3} + 10 y^{2} z^{2} + 5 y z + 1$