Algebra Esempi

${(m + \frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(m + \frac{1}{m})}^{6}$ , $n = 6$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $7$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $m$ e $b$ $\frac{1}{m}$ nell'espressione.

$1 {(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(m)}^{6}$ per $1$ .

${(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} \frac{1^{0}}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$m^{6} \frac{1}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$m^{6} \frac{1}{1} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.5

Dividi $1$ per $1$ .

$m^{6} \cdot 1 + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $m^{6}$ per $1$ .

$m^{6} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.7

Semplifica.

$m^{6} + 6 m^{5} \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $m$ da $6 m^{5}$ .

$m^{6} + m (6 m^{4}) \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.8.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 4.8.3

Riscrivi l'espressione.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1^{2}}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune di $m^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Scomponi $m^{2}$ da $15 m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.11.2

Elimina il fattore comune.

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.11.3

Riscrivi l'espressione.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.12

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1^{3}}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.14

Elimina il fattore comune di $m^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Scomponi $m^{3}$ da $20 m^{3}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.14.2

Elimina il fattore comune.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.14.3

Riscrivi l'espressione.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.15

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1^{4}}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.17

Elimina il fattore comune di $m^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.17.1

Scomponi $m^{2}$ da $15 m^{2}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.17.2

Scomponi $m^{2}$ da $m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.17.3

Elimina il fattore comune.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.17.4

Riscrivi l'espressione.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 \frac{1}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.18

$15$ e $\frac{1}{m^{2}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.19

Semplifica.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.20

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1^{5}}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.21

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.22

Elimina il fattore comune di $m$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.22.1

Scomponi $m$ da $6 m$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.22.2

Scomponi $m$ da $m^{5}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.22.3

Elimina il fattore comune.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.22.4

Riscrivi l'espressione.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 \frac{1}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.23

$6$ e $\frac{1}{m^{4}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.24

Moltiplica ${(m)}^{0}$ per $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.25

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.26

Moltiplica ${(\frac{1}{m})}^{6}$ per $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(\frac{1}{m})}^{6}$

Passaggio 4.27

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1^{6}}{m^{6}}$

Passaggio 4.28

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1}{m^{6}}$