Algebra Esempi

$3 x^{4} - x^{2} + 1$

Passaggio 1

Imposta $3 x^{4} - x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$3 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci $u = x^{2}$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$3 u^{2} - u + 1 = 0$

$u = x^{2}$

Passaggio 2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 1$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.5.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.3

Sottrai $12$ da $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.4

Riscrivi $- 11$ come $- 1 (11)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (11)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.6.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$u = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 2.8

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = x^{2}$ nell'equazione risolta.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.9

Risolvi la prima equazione per $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.10

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$

Passaggio 2.10.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{11}}{6}}$ come $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 2.10.2.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 2.10.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 2.10.2.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 2.10.2.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 2.10.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.10.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 2.10.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.10.2.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.10.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.10.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.10.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 2.10.2.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 2.10.2.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.10.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.10.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.10.4

La molteplicità di una radice corrisponde al numero di volte in cui la radice compare. Ad esempio, un fattore di ${(x + 5)}^{3}$ avrà una radice di $x = - 5$ con molteplicità pari a $3$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 2.11

Risolvi la seconda equazione per $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.12

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Rimuovi le parentesi.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{11}}{6}$

Passaggio 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$

Passaggio 2.12.3

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{11}}{6}}$ come $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 2.12.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 2.12.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 2.12.3.3.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 2.12.3.3.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 2.12.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.12.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 2.12.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{11}} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 2.12.3.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.12.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.12.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.12.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 2.12.5

La molteplicità di una radice corrisponde al numero di volte in cui la radice compare. Ad esempio, un fattore di ${(x + 5)}^{3}$ avrà una radice di $x = - 5$ con molteplicità pari a $3$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 2.13

La soluzione di $3 x^{4} - x^{2} + 1 = 0$ è $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{11}) \cdot 6}}{6}$

Passaggio 3