Algebra Esempi

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$ uguale a $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$4 x^{3} - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Scomponi $4 x$ da $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $u^{2} - 3 u - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 4, 1$

Passaggio 2.1.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 1) = 0$

Passaggio 2.1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x + x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 2.1.12

Riordina i termini.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - 2$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 2$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 2$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 2$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (Molteplicità di $1$ )

Passaggio 3