Algebra Esempi

$f (x) = 0.25 {(2 x - 15)}^{2} + 150$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(2 x - 15)}^{2}$ come $(2 x - 15) (2 x - 15)$ .

$f (x) = 0.25 ((2 x - 15) (2 x - 15)) + 150$

Passaggio 1.2

Espandi $(2 x - 15) (2 x - 15)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x - 15) - 15 (2 x - 15)) + 150$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x - 15)) + 150$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $- 15$ per $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x - 15 \cdot - 15) + 150$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- 15$ per $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x + 225) + 150$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $30 x$ da $- 30 x$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 60 x + 225) + 150$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = 0.25 (4 x^{2}) + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $0.25 (4 x^{2})$ .

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Passaggio 1.5.1.1

Moltiplica $4$ per $0.25$ .

$f (x) = 1 x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (x) = x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 60$ per $0.25$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 0.25 \cdot 225 + 150$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $0.25$ per $225$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 56.25 + 150$

Passaggio 2

Somma $56.25$ e $150$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 206.25$

Passaggio 3

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 4

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci con i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Passaggio 4.3

Semplifica $- \frac{- 15}{2 (1)}$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = - \frac{- 15}{2}$

Passaggio 4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - - \frac{15}{2}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- - \frac{15}{2}$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Passaggio 4.3.3.2

Moltiplica $\frac{15}{2}$ per $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Passaggio 5

Calcola $f (\frac{15}{2})$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{15}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{15}{2}) = {(\frac{15}{2})}^{2} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{15^{2}}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 15 (\frac{15}{2})$ .

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Passaggio 5.2.1.4.1

$- 15$ e $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 15 \cdot 15}{2} + 206.25$

Passaggio 5.2.1.4.2

Moltiplica $- 15$ per $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Passaggio 5.2.1.5

Elimina il fattore comune di $- 225$ e $2$ .

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Passaggio 5.2.1.5.1

Riscrivi $- 225$ come $1 (- 225)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 (- 225)}{2} + 206.25$

Passaggio 5.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.1.5.2.1

Riscrivi $2$ come $1 (2)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Passaggio 5.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Passaggio 5.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Passaggio 5.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225}{2} + 206.25$

Passaggio 5.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $\frac{225}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - (\frac{225}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 206.25$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $\frac{225}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 206.25$

Passaggio 5.2.2.3

Scrivi $206.25$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Moltiplica $\frac{206.25}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $\frac{206.25}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{4} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 225 \cdot 2 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 225$ per $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $206.25$ per $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 825}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Sottrai $450$ da $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 225 + 825}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $- 225$ e $825$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{600}{4}$

Passaggio 5.2.5.3

Dividi $600$ per $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = 150$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $150$ .

$150$

Passaggio 6

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(\frac{15}{2}, 150)$

Passaggio 7