Algebra Esempi

$(5, 0.12)$ , $(5, 22)$ , $(5, 7)$

Passaggio 1

Ci sono due equazioni generali per un'ellissi.

Equazione dell'ellissi orizzontale $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equazione dell'ellissi verticale $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 2

$a$ è la distanza tra il vertice $(5, 22)$ e il punto di centro $(5, 0.12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$a = \sqrt{{(5 - 5)}^{2} + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$a = \sqrt{0^{2} + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$a = \sqrt{0 + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $0.12$ da $22$ .

$a = \sqrt{0 + {21.88}^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Eleva $21.88$ alla potenza di $2$ .

$a = \sqrt{0 + 478.7344}$

Passaggio 2.3.5

Somma $0$ e $478.7344$ .

$a = \sqrt{478.7344}$

Passaggio 3

$c$ è la distanza tra il fuoco $(5, 7)$ e il centro $(5, 0.12)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Utilizza la formula della distanza per determinare la distanza tra i due punti.

$Distanza = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori effettivi dei punti nella formula della distanza.

$c = \sqrt{{(5 - 5)}^{2} + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$c = \sqrt{0^{2} + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$c = \sqrt{0 + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Sottrai $0.12$ da $7$ .

$c = \sqrt{0 + {6.88}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Eleva $6.88$ alla potenza di $2$ .

$c = \sqrt{0 + 47.3344}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $47.3344$ .

$c = \sqrt{47.3344}$

Passaggio 4

Utilizzare l'equazione $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Sostituisci $a$ con $\sqrt{478.7344}$ e $c$ con $\sqrt{47.3344}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come ${(\sqrt{478.7344})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$ .

${(\sqrt{478.7344})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sqrt{478.7344}}^{2}$ come $478.7344$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{478.7344}$ come ${478.7344}^{\frac{1}{2}}$ .

${({478.7344}^{\frac{1}{2}})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${478.7344}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${478.7344}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

${478.7344}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

${478.7344}^{1} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

$478.7344 - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Passaggio 4.3

Riscrivi ${\sqrt{47.3344}}^{2}$ come $47.3344$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{47.3344}$ come ${47.3344}^{\frac{1}{2}}$ .

$478.7344 - b^{2} = {({47.3344}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{1}$

Passaggio 4.3.5

Calcola l'esponente.

$478.7344 - b^{2} = 47.3344$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai $478.7344$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- b^{2} = 47.3344 - 478.7344$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $478.7344$ da $47.3344$ .

$- b^{2} = - 431.4$

Passaggio 4.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 431.4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- b^{2} = - 431.4$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Passaggio 4.5.2.2

Dividi $b^{2}$ per $1$ .

$b^{2} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Dividi $- 431.4$ per $- 1$ .

$b^{2} = 431.4$

Passaggio 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{431.4}$

Passaggio 4.7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.7.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$b = \sqrt{431.4}$

Passaggio 4.7.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$b = - \sqrt{431.4}$

Passaggio 4.7.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$b = \sqrt{431.4}, - \sqrt{431.4}$

Passaggio 5

$b$ è una distanza, quindi dovrebbe essere un numero positivo.

$b = \sqrt{431.4}$

Passaggio 6

Il coefficiente angolare della retta tra il fuoco $(5, 7)$ e il centro $(5, 0.12)$ determina se l'ellisse è verticali o orizzontale. Se il coefficiente angolare è $0$ , il grafico è orizzontale. Se è indefinito, il grafico è verticale.

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Passaggio 6.1

La pendenza è uguale alla variazione in $y$ sulla variazione in $x$ , o ascissa e ordinata.

$m = \frac{variazione in y}{variazione in x}$

Passaggio 6.2

La variazione in $x$ è uguale alla differenza nelle coordinate x (differenza tra ascisse) e la variazione in $y$ è uguale alla differenza nelle coordinate y (differenza tra ordinate).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Passaggio 6.3

Sostituisci con i valori di $x$ e $y$ nell'equazione per trovare il coefficiente angolare.

$m = \frac{0.12 - (7)}{5 - (5)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{0.12 - (7)}{5 - 5}$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $5$ da $5$ .

$\frac{0.12 - (7)}{0}$

Passaggio 6.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.5

L'equazione generale per un'ellissi verticale è $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $h = 5$ , $k = 0.12$ , $a = \sqrt{478.7344}$ e $b = \sqrt{431.4}$ in $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ per ottenere l'equazione dell'ellissi $\frac{{(y - (0.12))}^{2}}{{(\sqrt{478.7344})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - (0.12))}^{2}}{{(\sqrt{478.7344})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8

Semplifica per trovare l'equazione finale dell'ellissi.

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Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $0.12$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{\sqrt{478.7344}}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2

Riscrivi ${\sqrt{478.7344}}^{2}$ come $478.7344$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{478.7344}$ come ${478.7344}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{({478.7344}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.3

Moltiplica per $1$ .

$\frac{1 {(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.4

Scomponi $478.7344$ da $478.7344$ .

$\frac{1 {(y - 0.12)}^{2}}{478.7344 (1)} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.5

Frazioni separate.

$\frac{1}{478.7344} \cdot \frac{{(y - 0.12)}^{2}}{1} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.6

Dividi $1$ per $478.7344$ .

$0.00208884 (\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{1}) + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.7

Dividi ${(y - 0.12)}^{2}$ per $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{\sqrt{431.4}}^{2}} = 1$

Passaggio 8.9

Riscrivi ${\sqrt{431.4}}^{2}$ come $431.4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{431.4}$ come ${431.4}^{\frac{1}{2}}$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{({431.4}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Passaggio 8.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Passaggio 8.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Passaggio 8.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Passaggio 8.9.5

Calcola l'esponente.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Passaggio 8.10

Moltiplica per $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1 {(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Passaggio 8.11

Scomponi $431.4$ da $431.4$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1 {(x - 5)}^{2}}{431.4 (1)} = 1$

Passaggio 8.12

Frazioni separate.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1}{431.4} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = 1$

Passaggio 8.13

Dividi $1$ per $431.4$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + 0.00231803 (\frac{{(x - 5)}^{2}}{1}) = 1$

Passaggio 8.14

Dividi ${(x - 5)}^{2}$ per $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + 0.00231803 {(x - 5)}^{2} = 1$

Passaggio 9