Algebra Esempi

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $- \frac{1}{2}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci con i valori di $a_{1} = \frac{1}{2}$ e $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

Passaggio 5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

Passaggio 6

${(- 1)}^{n - 1}$ e $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Passaggio 7

Combina.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

Passaggio 8

Moltiplica $2$ per $2^{n - 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $2$ per $2^{n - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

Passaggio 8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

Passaggio 8.2

Combina i termini opposti in $1 + n - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

Passaggio 8.2.2

Somma $n$ e $0$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Passaggio 9

Moltiplica ${(- 1)}^{n - 1}$ per $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

Passaggio 10

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 11

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.7

$- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.9.1

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.9.2

Sottrai $16$ da $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 12.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 13.2

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 2}{2}}$

Passaggio 13.4.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 3}{2}}$

Passaggio 13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 14

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 15

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Passaggio 16

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 (5)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Passaggio 16.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 5}{16} \cdot \frac{2}{3})$

Passaggio 16.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{16} \cdot 2)$

Passaggio 17

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 (8)} \cdot 2)$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Passaggio 17.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

Passaggio 18

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{5}{8}$ .

$S_{4} = \frac{5}{2 \cdot 8}$

Passaggio 18.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$S_{4} = \frac{5}{16}$