Algebra Esempi

$\log_{2} (\sqrt[3]{x}) (x + 1)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (x + 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ e $g (x) = x + 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ per $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{2} (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\log_{2} (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 12

Moltiplica $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} \ln (2))}$

Passaggio 13

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} \ln (2) x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 14

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.1.1

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) \ln (2)}$

Passaggio 14.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \ln (2)}$

Passaggio 14.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} \ln (2)}$

Passaggio 14.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}} \ln (2)}$

Passaggio 14.1.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{1} \ln (2)}$

Passaggio 14.2

Semplifica $3 x^{1} \ln (2)$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + x \frac{1}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Passaggio 15.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 15.2.1

$x$ e $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Passaggio 15.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 15.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Passaggio 15.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ per $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Passaggio 15.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{3 x \ln (2)} + \log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)}$