Algebra Esempi

$\ln (\sqrt{\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}}$ come ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d c} [\ln ({(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ è $f' (g (c)) g' (c)$ dove $f (c) = \ln (c)$ e $g (c) = {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d c} [{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d c} [f (g (c))]$ è $f' (g (c)) g' (c)$ dove $f (c) = c^{\frac{1}{2}}$ e $g (c) = \frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d c} [\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ è $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ dove $f (c) = c^{2} - z^{2}$ e $g (c) = c^{2} + z^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} - z^{2}] - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10

Differenzia.

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Passaggio 10.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $c^{2} - z^{2}$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [- z^{2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [- z^{2}]) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ è $n c^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c + \frac{d}{d c} [- z^{2}]) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.3

Poiché $- z^{2}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $- z^{2}$ rispetto a $c$ è $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c + 0) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Somma $2 c$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(c^{2} + z^{2}) (2 c) - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $c^{2} + z^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) \frac{d}{d c} [c^{2} + z^{2}]}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $c^{2} + z^{2}$ rispetto a $c$ è $\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [z^{2}]$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) (\frac{d}{d c} [c^{2}] + \frac{d}{d c} [z^{2}])}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ è $n c^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - (c^{2} - z^{2}) (2 c + \frac{d}{d c} [z^{2}])}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.7

Poiché $z^{2}$ è costante rispetto a $c$ , la derivata di $z^{2}$ rispetto a $c$ è $0$ .

Passaggio 10.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.8.1

Somma $2 c$ e $0$ .

Passaggio 10.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}})$

Passaggio 10.8.3

Moltiplica $\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} \cdot 2} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 10.8.4

Sposta $2$ alla sinistra di ${(c^{2} + z^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 \cdot {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{1}{{(\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{c^{2} - z^{2}}{c^{2} + z^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} {(\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 11.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{c^{2} + z^{2}}{c^{2} - z^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 (c^{2} + z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{(2 c^{2} + 2 z^{2}) c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 (c^{2} - z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c + (- 2 c^{2} - 2 (- z^{2})) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.7

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.2

Moltiplica $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{2} c + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.3

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (c^{1} c^{2}) + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{1 + 2} + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{2} c - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.6

Eleva $c$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 (c^{1} c^{2}) - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{1 + 2} - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.8

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{3} - 2 (- z^{2}) c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.9

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 c^{3} + 2 z^{2} c - 2 c^{3} + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.10

Sottrai $2 c^{3}$ da $2 c^{3}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c + 0 + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.11

Somma $2 z^{2} c$ e $0$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c + 2 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.12

Somma $2 z^{2} c$ e $2 z^{2} c$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{4 z^{2} c}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.13

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.13.1

Scomponi $2$ da $4 z^{2} c$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.13.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 ({(c^{2} + z^{2})}^{2})} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (2 z^{2} c)}{2 {(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}} \cdot \frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 11.8.14

Moltiplica $\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2}}$ per $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.15

Sposta ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16

Moltiplica ${(c^{2} + z^{2})}^{2}$ per ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.16.1

Sposta ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + 2} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.16.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.16.6.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.17

Moltiplica $\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{2 z^{2} c}{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} ({(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 11.8.18

Moltiplica ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.18.1

Sposta ${(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{\frac{2}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{{(c^{2} - z^{2})}^{1} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.19

Semplifica ${(c^{2} - z^{2})}^{1} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 z^{2} c)}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.20

Sposta $2$ alla sinistra di ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}} z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.21

Sposta ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 11.8.22

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.22.1

Moltiplica ${(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}}$ per ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.8.22.1.1

Sposta ${(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) ({(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 11.8.22.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 11.8.22.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Passaggio 11.8.22.1.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.8.22.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{1}}$

Passaggio 11.8.22.2

Semplifica $(c^{2} - z^{2}) {(c^{2} + z^{2})}^{1}$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} - z^{2}) (c^{2} + z^{2})}$

Passaggio 11.9

Riordina i termini.

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} + z^{2}) (c^{2} - z^{2})}$

Passaggio 11.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = c$ e $b = z$ .

$\frac{2 z^{2} c}{(c^{2} + z^{2}) (c + z) (c - z)}$