Algebra Esempi

$f (x) = \frac{64}{\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}$ come ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ come ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = 5 x^{2} + 7 x + 8$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 7.2

${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 7.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.3.1

Sposta ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 (- \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$- 64 (\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Passaggio 7.4

$\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ e $- 64$ .

$\frac{- 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Passaggio 7.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 7 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 11

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 12

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 14

Moltiplica $7$ per $1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + \frac{d}{d x} [8])$

Passaggio 15

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + 0)$

Passaggio 16

Somma $10 x + 7$ e $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$

Passaggio 17

Semplifica.

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Passaggio 17.1

Riordina i fattori di $- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$ .

$- (10 x + 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.2

Applica la proprietà distributiva.

$(- (10 x) - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.3

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$(- 10 x - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.4

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$(- 10 x - 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.5

Moltiplica $- 10 x - 7$ per $\frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{(- 10 x - 7) \cdot 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.6

Sposta $64$ alla sinistra di $- 10 x - 7$ .

$\frac{64 \cdot (- 10 x - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.7

Scomponi $- 1$ da $- 10 x$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.8

Riscrivi $- 7$ come $- 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 1 (7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.9

Scomponi $- 1$ da $- (10 x) - 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.10

Riscrivi $- (10 x + 7)$ come $- 1 (10 x + 7)$ .

$\frac{64 (- 1 (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 17.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{64 (10 x + 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$