Algebra Esempi

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Passaggio 1

Risolvi $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Passaggio 1.1.2

Aggiungi $2$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Passaggio 1.2

Semplifica $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.2

$- x$ e $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.4.5

Riordina i termini.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Passaggio 1.2.5

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.4

Somma $x$ e $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.5

Sottrai $2$ da $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.6

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.6.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ e la cui somma è $b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.6.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.6.1.2

Riscrivi $5$ come $- 1$ più $6$ .

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.6.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.6.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.6.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.7.6.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.8

Scomponi $- 1$ da $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.9

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.10

Scomponi $- 1$ da $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.11

Riscrivi $- (2 x + 1)$ come $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Passaggio 1.3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 1.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.6

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 1.7

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 1.8

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.8.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.10

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Passaggio 1.11

Trova il dominio di $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Imposta il denominatore in $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 1.11.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 1.11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 1.11.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 1.12

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 1.13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 3$

Passaggio 1.13.1.2

Sostituisci $x$ con $- 3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Passaggio 1.13.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{714285}$ non è minore del lato destro di $- 5$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.13.2

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.13.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Passaggio 1.13.2.3

Il lato sinistro di $- 5$ è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.13.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{2} < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{2} < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 1.13.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Passaggio 1.13.3.3

Il lato sinistro di $1.\overline{6}$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.13.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 1.13.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Passaggio 1.13.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{45}$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.13.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Vero

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Vero

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 1.14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ o $x > 3$

Passaggio 2

Utilizza la diseguaglianza $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ per creare la notazione dell'insieme.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Passaggio 3