Algebra Esempi

$y = \frac{t^{3} + 1}{t^{4} - 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{3} + 1$ e $g (t) = t^{4} - 2$ .

$\frac{(t^{4} - 2) \frac{d}{d t} [t^{3} + 1] - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{3} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2} + 0) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Somma $3 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{4} - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3} + 0)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Somma $4 t^{3}$ e $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{4} (3 t^{2}) - 2 (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{4} (3 t^{2}) - 2 (3 t^{2}) + (- t^{3} - 1 \cdot 1) (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{t^{4} (3 t^{2}) - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 t^{4} t^{2} - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{3 (t^{2} t^{4}) - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 t^{2 + 4} - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2.3

Somma $2$ e $4$ .

$\frac{3 t^{6} - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 t^{3} t^{3} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.5.1

Sposta $t^{3}$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 t^{3 + 3} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.5.3

Somma $3$ e $3$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 t^{6} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{6} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{6} - 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{6} - 4 t^{3}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $4 t^{6}$ da $3 t^{6}$ .

$\frac{- t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{3}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$\frac{- t^{6} - 4 t^{3} - 6 t^{2}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Scomponi $t^{2}$ da $- t^{6} - 4 t^{3} - 6 t^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $t^{2}$ da $- t^{6}$ .

$\frac{t^{2} (- t^{4}) - 4 t^{3} - 6 t^{2}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Scomponi $t^{2}$ da $- 4 t^{3}$ .

$\frac{t^{2} (- t^{4}) + t^{2} (- 4 t) - 6 t^{2}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6.3

Scomponi $t^{2}$ da $- 6 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (- t^{4}) + t^{2} (- 4 t) + t^{2} \cdot - 6}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6.4

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} (- t^{4}) + t^{2} (- 4 t)$ .

$\frac{t^{2} (- t^{4} - 4 t) + t^{2} \cdot - 6}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.6.5

Scomponi $t^{2}$ da $t^{2} (- t^{4} - 4 t) + t^{2} \cdot - 6$ .

$\frac{t^{2} (- t^{4} - 4 t - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $- 1$ da $- t^{4}$ .

$\frac{t^{2} (- (t^{4}) - 4 t - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- 4 t$ .

$\frac{t^{2} (- (t^{4}) - (4 t) - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $- (t^{4}) - (4 t)$ .

$\frac{t^{2} (- (t^{4} + 4 t) - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.10

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$\frac{t^{2} (- (t^{4} + 4 t) - 1 (6))}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $- (t^{4} + 4 t) - 1 (6)$ .

$\frac{t^{2} (- (t^{4} + 4 t + 6))}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.12

Riscrivi $- (t^{4} + 4 t + 6)$ come $- 1 (t^{4} + 4 t + 6)$ .

$\frac{t^{2} (- 1 (t^{4} + 4 t + 6))}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Passaggio 3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2} (t^{4} + 4 t + 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$