Algebra Esempi

$x^{2} - 2 y^{2} = 18$

Passaggio 1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y^{2} = 18 - x^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{18}{- 2} + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Dividi $18$ per $- 2$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{- x^{2}}{- 2}$

Passaggio 2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y^{2} = - 9 + \frac{x^{2}}{2}$

Passaggio 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{- 9 + \frac{x^{2}}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.2

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 9 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{- 18 + x^{2}}{2}}$ come $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{- 18 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 18 + x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.8

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$

Passaggio 4.9

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(- 18 + x^{2}) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Passaggio 5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}}{2}$

Passaggio 6

Imposta il radicando in $\sqrt{2 (- 18 + x^{2})}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 (- 18 + x^{2}) \geq 0$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Semplifica $2 (- 18 + x^{2})$ .

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Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot - 18 + 2 x^{2} \geq 0$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$- 36 + 2 x^{2} \geq 0$

Passaggio 7.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = - 3 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2}$

Passaggio 7.3

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3 \sqrt{2}$

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$

$x > 3 \sqrt{2}$

Passaggio 7.4

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 7.4.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3 \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.4.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3 \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 7$

Passaggio 7.4.1.2

Sostituisci $x$ con $- 7$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 18 + {(- 7)}^{2}) \geq 0$

Passaggio 7.4.1.3

Il lato sinistro di $62$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.4.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.4.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 7.4.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 18 + {(0)}^{2}) \geq 0$

Passaggio 7.4.2.3

Il lato sinistro di $- 36$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 7.4.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3 \sqrt{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 7.4.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3 \sqrt{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 7$

Passaggio 7.4.3.2

Sostituisci $x$ con $7$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 18 + {(7)}^{2}) \geq 0$

Passaggio 7.4.3.3

Il lato sinistro di $62$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 7.4.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3 \sqrt{2}$ Vero

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ Falso

$x > 3 \sqrt{2}$ Vero

$x < - 3 \sqrt{2}$ Vero

$- 3 \sqrt{2} < x < 3 \sqrt{2}$ Falso

$x > 3 \sqrt{2}$ Vero

Passaggio 7.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3 \sqrt{2}$ o $x \geq 3 \sqrt{2}$

Passaggio 8

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3 \sqrt{2}] \cup [3 \sqrt{2}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 3 \sqrt{2}, x \geq 3 \sqrt{2}}$

Passaggio 9