Algebra Esempi

$y = \cos^{-1} (8 x^{5})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\cos^{-1} (8 x^{5}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos^{-1} (x)$ e $g (x) = 8 x^{5}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cos^{-1} (u)$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $8$ da $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $8 (x^{5})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (8^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2.2.2

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2.2.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{10})}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [8 x^{5}]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{5}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.2.4

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2.4.2

$- 8$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (5 x^{4})$

Passaggio 3.2.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.6.2

$- 5$ e $\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.6.3

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x^{4}$

Passaggio 3.2.6.4

$\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Passaggio 3.2.6.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$