Algebra Esempi

$- 4 - \sqrt{2} i$

Passaggio 1

Questa è la forma trigonometrica di un numero complesso dove $| z |$ è il modulo e $θ$ è l'angolo creato sul piano complesso.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Passaggio 2

Il modulo di un numero complesso è la distanza dall'origine sul piano complesso.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dove $z = a + b i$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a = - 4$ e $b = - 1 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1 \sqrt{2})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4

Trova $| z |$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi $- 1 \sqrt{2}$ come $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$| z | = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$| z | = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$| z | = \sqrt{2 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Calcola l'esponente.

$| z | = \sqrt{2 + {(- 4)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$| z | = \sqrt{2 + 16}$

Passaggio 4.3.2

Somma $2$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{18}$

Passaggio 4.4

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$| z | = \sqrt{9 (2)}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$| z | = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.5

Estrai i termini dal radicale.

$| z | = 3 \sqrt{2}$

Passaggio 5

L'angolo definito dal punto sul piano complesso è l'inverso della tangente della parte complessa sulla parte reale.

$θ = \arctan (\frac{- 1 \sqrt{2}}{- 4})$

Passaggio 6

Poiché l'inverso della tangente di $\frac{- 1 \sqrt{2}}{- 4}$ produce un angolo nel terzo quadrante, il valore dell'angolo è $3.48142956$ .

$θ = 3.48142956$

Passaggio 7

Sostituisci i valori di $θ = 3.48142956$ e $| z | = 3 \sqrt{2}$ .

$3 \sqrt{2} (\cos (3.48142956) + i \sin (3.48142956))$