Algebra Esempi

$8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$

Passaggio 1

Poiché il radicale si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$\sqrt{16 x + 9} = 8 x^{2} - 3$

Passaggio 2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{16 x + 9}}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 x + 9}$ come ${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(16 x + 9)}^{1} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica.

$16 x + 9 = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Riscrivi ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ come $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ .

$16 x + 9 = (8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$

Passaggio 3.3.1.2

Espandi $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2} - 3) - 3 (8 x^{2} - 3)$

Passaggio 3.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2} - 3)$

Passaggio 3.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2} x^{2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 (x^{2} x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2 + 2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.3

Moltiplica $8$ per $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.5

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} + 9$

Passaggio 3.3.1.3.2

Sottrai $24 x^{2}$ da $- 24 x^{2}$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 48 x^{2} + 9$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 = 16 x + 9$

Passaggio 4.2

Sottrai $16 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x = 9$

Passaggio 4.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9 = 0$

Passaggio 4.4

Combina i termini opposti in $64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9$ .

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Passaggio 4.4.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Passaggio 4.4.2

Somma $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ e $0$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Passaggio 4.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.5.1

Scomponi $16 x$ da $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ .

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Passaggio 4.5.1.1

Scomponi $16 x$ da $64 x^{4}$ .

$16 x (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Passaggio 4.5.1.2

Scomponi $16 x$ da $- 48 x^{2}$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) - 16 x = 0$

Passaggio 4.5.1.3

Scomponi $16 x$ da $- 16 x$ .

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Passaggio 4.5.1.4

Scomponi $16 x$ da $16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Passaggio 4.5.1.5

Scomponi $16 x$ da $16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1)$ .

$16 x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 4.5.2

Scomponi $4 x^{3} - 3 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 4.5.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 4.5.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Passaggio 4.5.2.3

Sostituisci $- 0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.5.2.3.1

Sostituisci $- 0.5$ nel polinomio.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Passaggio 4.5.2.3.2

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Passaggio 4.5.2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 0.125$ .

$- 0.5 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Passaggio 4.5.2.3.4

Moltiplica $- 3$ per $- 0.5$ .

$- 0.5 + 1.5 - 1$

Passaggio 4.5.2.3.5

Somma $- 0.5$ e $1.5$ .

$1 - 1$

Passaggio 4.5.2.3.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 4.5.2.4

Poiché $- 0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{4 x^{3} - 3 x - 1}{2 x + 1}$

Passaggio 4.5.2.5

Dividi $4 x^{3} - 3 x - 1$ per $2 x + 1$ .

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Passaggio 4.5.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 4.5.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Passaggio 4.5.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 4.5.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 4.5.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 4.5.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 4.5.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 4.5.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Passaggio 4.5.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Passaggio 4.5.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Passaggio 4.5.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Passaggio 4.5.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Passaggio 4.5.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Passaggio 4.5.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Passaggio 4.5.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 4.5.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - x - 1$

Passaggio 4.5.2.6

Scrivi $4 x^{3} - 3 x - 1$ come insieme di fattori.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - (x) - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.3.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + (1 - 2) x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.3.1.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + x - 2 x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$16 x ((2 x + 1) ((2 x^{2} + x) - 2 x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$16 x ((2 x + 1) (x (2 x + 1) - (2 x + 1))) = 0$

Passaggio 4.5.3.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x + 1$ .

$16 x ((2 x + 1) ((2 x + 1) (x - 1))) = 0$

Passaggio 4.5.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.4.1.1

Eleva $2 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.4.1.2

Eleva $2 x + 1$ alla potenza di $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 x ({(2 x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$16 x ({(2 x + 1)}^{2} (x - 1)) = 0$

Passaggio 4.5.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$

Passaggio 4.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.8

Imposta ${(2 x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Imposta ${(2 x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4.8.2

Risolvi ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Poni $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 4.8.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 4.8.2.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.8.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.8.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 4.8.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 4.9

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 4.9.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 4.10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$ vera.

$x = 1$