Algebra Esempi

$f (x) = x^{2} + 15 x - x^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 15 x - x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $15$ per $1$ .

$2 x + 15 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 15 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$2 x + 15 - (5 x^{4})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$2 x + 15 - 5 x^{4}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 5 x^{4} + 2 x + 15$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x^{4} + 2 x + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 5$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} (15)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 20 x^{3} + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 20 x^{3} + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 15 x - x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $15$ per $1$ .

$2 x + 15 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 x + 15 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$2 x + 15 - (5 x^{4})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$2 x + 15 - 5 x^{4}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 5 x^{4} + 2 x + 15$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 5 x^{4} + 2 x + 15$ .

$- 5 x^{4} + 2 x + 15$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 5 x^{4} + 2 x + 15 = 0$

Passaggio 5.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - \frac{8 \sqrt{2}}{9}, 1.3725465$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}, 1.3725465$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 20 {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{3} + 2$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{3}) + 2$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} \frac{{(8 \sqrt{2})}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola del prodotto a $8 \sqrt{2}$ .

$- 20 ({(- 1)}^{3} \frac{8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 20 (- \frac{8^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$- 20 (- \frac{512 {\sqrt{2}}^{3}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{3}$ come $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{2^{3}}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{8}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{4 (2)}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 20 (- \frac{512 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$- 20 (- \frac{512 \cdot 2 \sqrt{2}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $512$ per $2$ .

$- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{9^{3}}) + 2$

Passaggio 9.4

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{729}) + 2$

Passaggio 9.5

Moltiplica $- 20 (- \frac{1024 \sqrt{2}}{729})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 20$ .

$20 \frac{1024 \sqrt{2}}{729} + 2$

Passaggio 9.5.2

$20$ e $\frac{1024 \sqrt{2}}{729}$ .

$\frac{20 (1024 \sqrt{2})}{729} + 2$

Passaggio 9.5.3

Moltiplica $1024$ per $20$ .

$\frac{20480 \sqrt{2}}{729} + 2$

Passaggio 10

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ nell'espressione.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{2} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{2} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} (\frac{{(8 \sqrt{2})}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = {(- 1)}^{2} (\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = 1 (\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}) + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $\frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{8^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 {\sqrt{2}}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.4.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{9^{2}} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{64 \cdot 2}{81} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $64$ per $2$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 15 (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ nel numeratore.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 15 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.7.2

Scomponi $3$ da $15$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 (5) (\frac{- 8 \sqrt{2}}{9}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.7.3

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 \cdot (5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3 \cdot 3})) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.7.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 3 \cdot (5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3 \cdot 3})) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.7.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + 5 (\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}) - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.8

$5$ e $\frac{- 8 \sqrt{2}}{3}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{5 (- 8 \sqrt{2})}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.9

Moltiplica $- 8$ per $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 40 \sqrt{2}}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - {(- \frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5}$

Passaggio 11.2.1.11

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.11.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} {(\frac{8 \sqrt{2}}{9})}^{5})$

Passaggio 11.2.1.11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{8 \sqrt{2}}{9}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} (\frac{{(8 \sqrt{2})}^{5}}{9^{5}}))$

Passaggio 11.2.1.11.3

Applica la regola del prodotto a $8 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} - ({(- 1)}^{5} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}))$

Passaggio 11.2.1.12

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.12.1

Sposta ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 \frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Passaggio 11.2.1.12.2

Moltiplica ${(- 1)}^{5}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.12.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}))$

Passaggio 11.2.1.12.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Passaggio 11.2.1.12.3

Somma $5$ e $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + {(- 1)}^{6} (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Passaggio 11.2.1.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $6$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + 1 (\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}})$

Passaggio 11.2.1.14

Moltiplica $\frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$ per $1$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{8^{5} {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.15.1

Eleva $8$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 {\sqrt{2}}^{5}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{5}$ come $\sqrt{2^{5}}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{2^{5}}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{32}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.15.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{16 (2)}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{32768 \cdot (4 \sqrt{2})}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.15.6

Moltiplica $32768$ per $4$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{131072 \sqrt{2}}{9^{5}}$

Passaggio 11.2.1.16

Eleva $9$ alla potenza di $5$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{40 \sqrt{2}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{19683}{19683}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{19683}{19683} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $59049$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{40 \sqrt{2}}{3}$ per $\frac{19683}{19683}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2} \cdot 19683}{3 \cdot 19683} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $3$ per $19683$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{40 \sqrt{2} \cdot 19683}{59049} + \frac{131072 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 40 \sqrt{2} \cdot 19683 + 131072 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1.1

Moltiplica $19683$ per $- 40$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 787320 \sqrt{2} + 131072 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.5.1.2

Somma $- 787320 \sqrt{2}$ e $131072 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} + \frac{- 656248 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{8 \sqrt{2}}{9}) = \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$ .

$y = \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1.3725465$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 20 {(1.3725465)}^{3} + 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $1.3725465$ alla potenza di $3$ .

$- 20 \cdot 2.58571828 + 2$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 20$ per $2.58571828$ .

$- 51.71436573 + 2$

Passaggio 13.2

Somma $- 51.71436573$ e $2$ .

$- 49.71436573$

Passaggio 14

$x = 1.3725465$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1.3725465$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1.3725465$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.3725465$ nell'espressione.

$f (1.3725465) = {(1.3725465)}^{2} + 15 (1.3725465) - {(1.3725465)}^{5}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $1.3725465$ alla potenza di $2$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 15 (1.3725465) - {(1.3725465)}^{5}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $15$ per $1.3725465$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - {(1.3725465)}^{5}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $1.3725465$ alla potenza di $5$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - 1 \cdot 4.87119308$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4.87119308$ .

$f (1.3725465) = 1.88388391 + 20.5881976 - 4.87119308$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $1.88388391$ e $20.5881976$ .

$f (1.3725465) = 22.47208152 - 4.87119308$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $4.87119308$ da $22.47208152$ .

$f (1.3725465) = 17.60088843$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $17.60088843$ .

$y = 17.60088843$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} + 15 x - x^{5}$ .

$(- \frac{8 \sqrt{2}}{9}, \frac{128}{81} - \frac{656248 \sqrt{2}}{59049})$ è un minimo locale

$(1.3725465, 17.60088843)$ è un massimo locale

Passaggio 17