Algebra Esempi

$f (x) = | x - a | - b$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $| x - a | - b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $\frac{x - a}{| x - a |}$ per $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 1.3

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Somma $\frac{x - a}{| x - a |}$ e $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Passaggio 1.4.4

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Passaggio 1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Passaggio 1.4.6

Riscrivi $- (a - x)$ come $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Passaggio 1.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{a - x}{| x - a |} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = a - x$ e $g (x) = | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (a - x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $a - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (\frac{d}{d x} (a) + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \frac{d}{d x} (- x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- \frac{d}{d x} x) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | (- 1 \cdot 1) - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x - a | \cdot - 1 - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $| x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- 1 \cdot | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.3.6.3

Riscrivi $- 1 | x - a |$ come $- | x - a |$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{d}{d x} | x - a |}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - a$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (x - a))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- a)))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot (1 + 0))}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) (\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1)}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $\frac{x - a}{| x - a |}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 2.5.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + \frac{a - x}{| x - a |} \cdot 0$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Moltiplica $\frac{a - x}{| x - a |}$ per $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}} + 0$

Passaggio 2.5.6.2

Somma $- \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | - (a - x) \frac{x - a}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + 1 x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + (- a + x) (\frac{x - a}{| x - a |})}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Moltiplica $- a + x$ per $\frac{x - a}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (x - a)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.3.1

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.3.2

Eleva $- a + x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.3.3

Eleva $- a + x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{(- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{1 + 1}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.2

Per scrivere $- | x - a |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{- | x - a | \cdot \frac{| x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.3

$- | x - a |$ e $\frac{| x - a |}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a |}{| x - a |} + \frac{{(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x - a | | x - a | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1

Moltiplica $- | x - a | | x - a |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.1.1

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.1.2

Eleva $x - a$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.1.3

Eleva $x - a$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{1 + 1} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | {(x - a)}^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.2

Riscrivi ${(x - a)}^{2}$ come $(x - a) (x - a)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | (x - a) (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.3

Espandi $(x - a) (x - a)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x (x - a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a (x - a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x \cdot x + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} + x (- a) - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - a (- a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.1.4

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.4.1.4.1

Sposta $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.1.4.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x - 1 \cdot (- 1 a^{2}) | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + 1 a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.1.6

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - x a - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.2

Sottrai $a x$ da $- x a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.4.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - a x - a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.4.2.2

Sottrai $a x$ da $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + {(- a + x)}^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.5

Riscrivi ${(- a + x)}^{2}$ come $(- a + x) (- a + x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + (- a + x) (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.6

Espandi $(- a + x) (- a + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a + x) + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a + x)}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a (- a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.7.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a \cdot a) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.7.1.2.1

Sposta $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 (a \cdot a)) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | - 1 \cdot (- 1 a^{2}) - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + 1 a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.1.4

Moltiplica $a^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x + x (- a) + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x \cdot x}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - x a + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.2

Sottrai $x a$ da $- a x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.5.7.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - a x - a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.5.7.2.2

Sottrai $a x$ da $- a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- | x^{2} - 2 a x + a^{2} | + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.6

Scomponi $- 1$ da $- | x^{2} - 2 a x + a^{2} |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) + a^{2} - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.7

Scomponi $- 1$ da $a^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} |) - 1 (- a^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - 2 a x + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.9

Scomponi $- 1$ da $- 2 a x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.10

Scomponi $- 1$ da $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2}) - (2 a x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) + x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.11

Scomponi $- 1$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.12

Scomponi $- 1$ da $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x) - 1 (- x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.13

Riscrivi $- (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ come $- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2})}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.2.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Riscrivi $\frac{- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}}{{| x - a |}^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (- \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |} \cdot \frac{1}{{| x - a |}^{2}})$

Passaggio 2.6.3.2

Moltiplica $\frac{1}{{| x - a |}^{2}}$ per $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{| x - a |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Passaggio 2.6.3.3

Moltiplica ${| x - a |}^{2}$ per $| x - a |$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.3.1

Moltiplica ${| x - a |}^{2}$ per $| x - a |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.3.1.1

Eleva $| x - a |$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2} | x - a |}$

Passaggio 2.6.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{2 + 1}}$

Passaggio 2.6.3.3.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Passaggio 2.6.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}})$

Passaggio 2.6.3.5

Moltiplica $\frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 2 a x + a^{2} | - a^{2} + 2 a x - x^{2}}{{| x - a |}^{3}}$

Passaggio 2.6.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- a^{2} - x^{2} + 2 a x + | x^{2} - 2 a x + a^{2} |}{{| x - a |}^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $| x - a | - b$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$\frac{d}{d x} [| x - a |] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [| x - a |]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - a$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.1.2

La derivata di $| u |$ rispetto a $u$ è $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - a$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \frac{d}{d x} [x - a] + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - a$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché $- a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- a$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.5

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $\frac{x - a}{| x - a |}$ per $1$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + \frac{d}{d x} [- b]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $- b$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- b$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |} + 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Somma $\frac{x - a}{| x - a |}$ e $0$ .

$\frac{x - a}{| x - a |}$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i termini.

$\frac{- a + x}{| x - a |}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- a$ .

$\frac{- (a) + x}{| x - a |}$

Passaggio 4.1.4.4

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{- (a) - 1 (- x)}{| x - a |}$

Passaggio 4.1.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (a) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (a - x)}{| x - a |}$

Passaggio 4.1.4.6

Riscrivi $- (a - x)$ come $- 1 (a - x)$ .

$\frac{- 1 (a - x)}{| x - a |}$

Passaggio 4.1.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{a - x}{| x - a |}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{a - x}{| x - a |}$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{a - x}{| x - a |} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$a - x = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sottrai $a$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - a$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - a$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - a$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- a}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- a}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- a}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{a}{1}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Dividi $a$ per $1$ .

$x = a$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = a$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = a$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| (a) - a |}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $a$ da $a$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{{| 0 |}^{3}}$

Passaggio 9.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0^{3}}$

Passaggio 9.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- a^{2} - {(a)}^{2} + 2 a (a) + | {(a)}^{2} - 2 a \cdot a + a^{2} |}{0}$

Passaggio 9.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 10

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 11