Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} - 9$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x + 5)}^{2}$ come $(x + 5) (x + 5)$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot ((x + 5) (x + 5)) - 9$

Passaggio 1.2

Espandi $(x + 5) (x + 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 9$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 9$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 9$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 9$

Passaggio 1.3.2

Somma $5 x$ e $5 x$ .

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 10 x + 25) - 9$

Passaggio 1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (10 x) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $2$ da $10 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Passaggio 1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (5 x)) + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Passaggio 1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{1}{2} \cdot 25 - 9$

Passaggio 1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9$

Passaggio 2

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 9 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{25 - 18}{2}$

Passaggio 5.2

Sottrai $18$ da $25$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 5 x + \frac{7}{2}$

Passaggio 6

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 7

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 7.1

Sostituisci con i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Passaggio 7.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{5}{2 (0.5)}$

Passaggio 7.3

Semplifica $- \frac{5}{2 (0.5)}$ .

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $0.5$ .

$x = - \frac{5}{1}$

Passaggio 7.3.2

Dividi $5$ per $1$ .

$x = - 1 \cdot 5$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$x = - 5$

Passaggio 8

Calcola $f (- 5)$ .

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{2} + 5 (- 5) + \frac{7}{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{{(- 5)}^{2} + 7}{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.2.1.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{25 + 7}{2}$

Passaggio 8.2.1.2.2

Somma $25$ e $7$ .

$f (- 5) = 5 (- 5) + \frac{32}{2}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.2.1

Moltiplica $5$ per $- 5$ .

$f (- 5) = - 25 + \frac{32}{2}$

Passaggio 8.2.2.2

Dividi $32$ per $2$ .

$f (- 5) = - 25 + 16$

Passaggio 8.2.3

Somma $- 25$ e $16$ .

$f (- 5) = - 9$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 9$ .

$- 9$

Passaggio 9

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- 5, - 9)$

Passaggio 10