Algebra Esempi

$4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 1

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4 y {(8 y + 24)}^{- 1}$ rispetto a $y$ è $4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y {(8 y + 24)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = {(8 y + 24)}^{- 1}$ .

$4 (y \frac{d}{d y} [{(8 y + 24)}^{- 1}] + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = 8 y + 24$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 y + 24$ .

$4 (y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$4 (y (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 y + 24$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \frac{d}{d y} [8 y + 24]) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 y + 24$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $8 y$ rispetto a $y$ è $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.4

Moltiplica $8$ per $1$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + \frac{d}{d y} [24])) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.5

Poiché $24$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $24$ rispetto a $y$ è $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} (8 + 0)) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $8$ e $0$ .

$4 (y (- {(8 y + 24)}^{- 2} \cdot 8) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1} \cdot 1)$

Passaggio 4.8

Moltiplica ${(8 y + 24)}^{- 1}$ per $1$ .

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2}) + {(8 y + 24)}^{- 1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (y (- 8 {(8 y + 24)}^{- 2})) + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$- 32 y {(8 y + 24)}^{- 2} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $8$ da $8 y + 24$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Scomponi $8$ da $8 y$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y) + 24)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 y + 8 \cdot 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Scomponi $8$ da $8 y + 8 \cdot 3$ .

$- 32 y \frac{1}{{(8 (y + 3))}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $8 (y + 3)$ .

$- 32 y \frac{1}{8^{2} {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.2.3

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- 32 y \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $32$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $32$ da $- 32 y$ .

$32 (- y) \frac{1}{64 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $32$ da $64 {(y + 3)}^{2}$ .

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune.

$32 (- y) \frac{1}{32 (2 {(y + 3)}^{2})} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- y \frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.4

$\frac{1}{2 {(y + 3)}^{2}}$ e $y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 {(8 y + 24)}^{- 1}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 24}$

Passaggio 5.3.6

Scomponi $8$ da $8 y + 24$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $8$ da $8 y$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y) + 24}$

Passaggio 5.3.6.2

Scomponi $8$ da $24$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 y + 8 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6.3

Scomponi $8$ da $8 y + 8 \cdot 3$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{8 (y + 3)}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.3.7.1

Scomponi $4$ da $8 (y + 3)$ .

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Passaggio 5.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + 4 \frac{1}{4 (2 (y + 3))}$

Passaggio 5.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{y}{2 {(y + 3)}^{2}} + \frac{1}{2 (y + 3)}$