Algebra Esempi

$\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{3} + 28000$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 28000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $28000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.2.6

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Passaggio 2.8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 28000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Passaggio 2.8.3.2

Scomponi $4$ da $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Passaggio 2.8.3.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} - 7000}{x^{2}})$

Passaggio 3.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}})$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x^{3} - 7000) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 7000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7000]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7000)) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 7000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.3.5

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} (3 x^{2}) - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} x^{2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2 + 2} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.4.3

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} \cdot 3 - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot x^{4} - (x^{3} - 7000) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}})$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - (x^{3} - 7000) (2 x)}{x^{4}})$

Passaggio 3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $x$ da $3 x^{4} - 2 (x^{3} - 7000) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Scomponi $x$ da $3 x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) - 2 (x^{3} - 7000) x}{x^{4}})$

Passaggio 3.7.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 (x^{3} - 7000) x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Passaggio 3.7.2.3

Scomponi $x$ da $x (3 x^{3}) + x (- 2 (x^{3} - 7000))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{4}})$

Passaggio 3.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Passaggio 3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x \cdot x^{3}})$

Passaggio 3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}})$

Passaggio 3.9

$4$ e $\frac{3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000)}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 (x^{3} - 7000))}{x^{3}}$

Passaggio 3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{3}) + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} + 4 (- 2 x^{3}) + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 (- 2 \cdot - 7000)}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.3.1.3

Moltiplica $4 (- 2 \cdot - 7000)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.3.1.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 7000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.3.1.3.2

Moltiplica $4$ per $14000$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{3} - 8 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.3.2

Sottrai $8 x^{3}$ da $12 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 56000}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.4

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 56000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.4.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3}) + 56000}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.4.2

Scomponi $4$ da $56000$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} + 4 \cdot 14000}{x^{3}}$

Passaggio 3.10.4.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 \cdot 14000$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x^{3} + 14000)}{x^{3}}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 28000] - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 28000$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [28000]) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.5

Poiché $28000$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $28000$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.2.6

Somma $6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 28000)}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 28000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $28000$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} - 28000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 28000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.3.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3}) - 28000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8.3.2

Scomponi $4$ da $- 28000$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 7000}{x^{2}}$

Passaggio 5.1.8.3.3

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 \cdot - 7000$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 (x^{3} - 7000) = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x^{3} - 7000) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 (x^{3} - 7000) = 0$ .

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x^{3} - 7000)}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.2.1.2

Dividi $x^{3} - 7000$ per $1$ .

$x^{3} - 7000 = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{3} - 7000 = 0$

Passaggio 6.3.2

Somma $7000$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} = 7000$

Passaggio 6.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{7000}$

Passaggio 6.3.4

Semplifica $\sqrt[3]{7000}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Riscrivi $7000$ come $10^{3} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1.1

Scomponi $1000$ da $7000$ .

$x = \sqrt[3]{1000 (7)}$

Passaggio 6.3.4.1.2

Riscrivi $1000$ come $10^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{10^{3} \cdot 7}$

Passaggio 6.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta il denominatore in $\frac{4 (x^{3} - 7000)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 7.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 10 \sqrt[3]{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 (10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4 (1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{7}$ come $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 (1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (1000 \cdot 7^{1} + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 (1000 \cdot 7 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $1000$ per $7$ .

$\frac{4 (7000 + 14000)}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.1.5

Somma $7000$ e $14000$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Passaggio 10.2.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{7}$ come $7^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 10.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 10.2.3.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 10.2.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 10.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7^{1}}$

Passaggio 10.2.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{4 \cdot 21000}{1000 \cdot 7}$

Passaggio 10.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Moltiplica $4$ per $21000$ .

$\frac{84000}{1000 \cdot 7}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $1000$ per $7$ .

$\frac{84000}{7000}$

Passaggio 10.3.3

Dividi $84000$ per $7000$ .

$12$

Passaggio 11

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 10 \sqrt[3]{7}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 10 \sqrt[3]{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10 \sqrt[3]{7}$ nell'espressione.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elimina il fattore comune di $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 28000$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Scomponi $2$ da $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3}) + 28000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.1.2

Scomponi $2$ da $28000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000}{10 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 {(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 2 \cdot 14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{10 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Passaggio 12.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{2 ({(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000)}{2 (5 \sqrt[3]{7})}$

Passaggio 12.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{{(10 \sqrt[3]{7})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $10 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{10^{3} {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.2

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {\sqrt[3]{7}}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.3

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{7}$ come $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 {(7^{\frac{1}{3}})}^{3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.3.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7^{\frac{3}{3}} + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.3.5

Calcola l'esponente.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{1000 \cdot 7 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.4

Moltiplica $1000$ per $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7000 + 14000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.2.5

Somma $7000$ e $14000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{21000}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.3

Elimina il fattore comune di $21000$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Scomponi $5$ da $21000$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $5 \sqrt[3]{7}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 (\sqrt[3]{7})}$

Passaggio 12.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{5 \cdot 4200}{5 \sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Passaggio 12.2.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $\frac{4200}{\sqrt[3]{7}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Passaggio 12.2.5.2

Eleva $\sqrt[3]{7}$ alla potenza di $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}}$

Passaggio 12.2.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}}$

Passaggio 12.2.5.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}}$

Passaggio 12.2.5.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{7}$ come $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 12.2.5.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 12.2.5.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 12.2.5.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 12.2.5.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Passaggio 12.2.5.5.5

Calcola l'esponente.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7}$

Passaggio 12.2.6

Elimina il fattore comune di $4200$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.1

Scomponi $7$ da $4200 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7}$

Passaggio 12.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.6.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 (1)}$

Passaggio 12.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{7 (600 {\sqrt[3]{7}}^{2})}{7 \cdot 1}$

Passaggio 12.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (10 \sqrt[3]{7}) = \frac{600 {\sqrt[3]{7}}^{2}}{1}$

Passaggio 12.2.6.2.4

Dividi $600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$ per $1$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 {\sqrt[3]{7}}^{2}$

Passaggio 12.2.7

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ come $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{7^{2}}$

Passaggio 12.2.8

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (10 \sqrt[3]{7}) = 600 \sqrt[3]{49}$

Passaggio 12.2.9

La risposta finale è $600 \sqrt[3]{49}$ .

$y = 600 \sqrt[3]{49}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{2 x^{3} + 28000}{x}$ .

$(10 \sqrt[3]{7}, 600 \sqrt[3]{49})$ è un minimo locale

Passaggio 14