Algebra Esempi

$10 x^{2} - 36 y^{2} = 100$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

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Passaggio 1.1

Dividi per $100$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{10 x^{2}}{100} - \frac{36 y^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{10} - \frac{y^{2}}{\frac{25}{9}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \sqrt{10}$

$b = \frac{5}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

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Passaggio 4.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\sqrt{10})}^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

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Passaggio 4.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{10^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{10^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{10^{1} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{10 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

$\sqrt{10 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{10 + \frac{25}{3^{2}}}$

Passaggio 4.3.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{10 + \frac{25}{9}}$

Passaggio 4.3.3

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{10 \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

Passaggio 4.3.4

$10$ e $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 9}{9} + \frac{25}{9}}$

Passaggio 4.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 9 + 25}{9}}$

Passaggio 4.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.6.1

Moltiplica $10$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{90 + 25}{9}}$

Passaggio 4.3.6.2

Somma $90$ e $25$ .

$\sqrt{\frac{115}{9}}$

Passaggio 4.3.7

Riscrivi $\sqrt{\frac{115}{9}}$ come $\frac{\sqrt{115}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{115}}{\sqrt{9}}$

Passaggio 4.3.8

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.3.8.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{115}}{\sqrt{3^{2}}}$

Passaggio 4.3.8.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{115}}{3}$

Passaggio 5

Trova i fuochi.

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Passaggio 5.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{\sqrt{115}}{3}, 0)$

Passaggio 5.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 5.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{\sqrt{115}}{3}, 0)$

Passaggio 5.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(\frac{\sqrt{115}}{3}, 0), (- \frac{\sqrt{115}}{3}, 0)$

Passaggio 6