Algebra Esempi

$y = - \frac{2}{3} {(4)}^{x + 3} - 4$

Passaggio 1

La funzione genitore è la forma più semplice del tipo di funzione data.

$y = {(4)}^{x}$

Passaggio 2

Risolvi $y = {(4)}^{x}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 4^{x}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = {(4)}^{x}$

Passaggio 2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = 4^{x}$

Passaggio 3

Risolvi $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$

Passaggio 3.2

Semplifica $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot 4^{x + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

$4^{x + 3}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{4^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = - \frac{{(2^{2})}^{x + 3} \cdot 2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{2})}^{x + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{2^{2 (x + 3)} \cdot 2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2^{2 x + 2 \cdot 3} \cdot 2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 6} \cdot 2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = - \frac{2^{2 x + 6 + 1}}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.5

Somma $6$ e $1$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.2.3

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2^{2 x + 7}}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{- 2^{2 x + 7} - 12}{3}$

Passaggio 3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- 2^{2 x + 7}$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 12}{3}$

Passaggio 3.2.7

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)}{3}$

Passaggio 3.2.8

Scomponi $- 1$ da $- (2^{2 x + 7}) - 1 (12)$ .

$y = \frac{- (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Passaggio 3.2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.9.1

Riscrivi $- (2^{2 x + 7} + 12)$ come $- 1 (2^{2 x + 7} + 12)$ .

$y = \frac{- 1 (2^{2 x + 7} + 12)}{3}$

Passaggio 3.2.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Passaggio 4

Supponi che $y = {(4)}^{x}$ sia $f (x) = 4^{x}$ e $y = - \frac{2}{3} \cdot {(4)}^{x + 3} - 4$ sia $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$f (x) = 4^{x}$

$g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$

Passaggio 5

Si può trovare la trasformazione dalla prima alla seconda equazione determinando $a$ , $h$ e $k$ per ogni equazione.

$y = a b^{x - h} + k$

Passaggio 6

Trova $a$ , $h$ e $k$ per $f (x) = 4^{x}$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 7

Trova $a$ , $h$ e $k$ per $g (x) = - \frac{2^{2 x + 7} + 12}{3}$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - \frac{7}{2}$

$k = 0$

Passaggio 8

La traslazione orizzontale dipende dal valore di $h$ . La traslazione orizzontale è descritta come:

$g (x) = f (x + h)$ - Il grafico è traslato a sinistra di $h$ unità.

$g (x) = f (x - h)$ - Il grafico è traslato a destra di $h$ unità.

Traslazione orizzontale: $3.5$ unità a sinistra

Passaggio 9

La traslazione verticale dipende dal valore di $k$ . La traslazione verticale è descritta come:

$g (x) = f (x) + k$ - Il grafico è traslato verso l'alto di $k$ unità.

$g (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Traslazione verticale: no

Passaggio 10

Il segno di $a$ descrive la riflessione sull'asse x. $- a$ significa che il grafico si riflette sull'asse x.

Riflessione sull'asse x: riflessa

Passaggio 11

Il valore di $a$ descrive la dilatazione o la compressione verticale del grafico.

$a > 1$ è un allungamento verticale (lo rende più stretto)

$0 < a < 1$ è una compressione verticale (lo rende più ampio)

Compressione verticale: in compressione

Passaggio 12

Per trovare la trasformazione, confronta le due funzioni e verifica se sono presenti una traslazione orizzontale o verticale (una simmetria rispetto all'asse x) e una dilatazione verticale.

Funzione base: $f (x) = 4^{x}$

Traslazione orizzontale: $3.5$ unità a sinistra

Traslazione verticale: no

Riflessione sull'asse x: riflessa

Compressione verticale: in compressione

Passaggio 13