Algebra Esempi

$x^{3} + x^{2} = x - 1$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + x^{2} - x = - 1$

Passaggio 1.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + x^{2} - x + 1 = 0$

Passaggio 2

Per trovare il possibile numero di radici positive, guarda i segni dei coefficienti e conta il numero di volte in cui i coefficienti cambiano da positivo a negativo o viceversa.

$f (x) = x^{3} + x^{2} - x + 1$

Passaggio 3

Poiché ci sono $2$ cambiamenti di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, ci sono al massimo $2$ radici positive (Regola di Cartesio). È possibile trovare gli altri numeri possibili di radici positive sottraendo le coppie di radici (ad es. $(2 - 2)$ ).

Radici positive: $2$ o $0$

Passaggio 4

Per trovare il possibile numero di radici negative, sostituisci $x$ con $- x$ e ripeti il confronto dei segni.

$f (- x) = {(- x)}^{3} + {(- x)}^{2} - (- x) + 1$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} + {(- x)}^{2} - (- x) + 1$

Passaggio 5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- x)}^{2} - (- x) + 1$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = - x^{3} + {(- 1)}^{2} x^{2} - (- x) + 1$

Passaggio 5.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = - x^{3} + 1 x^{2} - (- x) + 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} - (- x) + 1$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- (- x)$ .

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} + 1 x + 1$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- x) = - x^{3} + x^{2} + x + 1$

Passaggio 6

Poiché c'è $1$ cambiamento di segno dal termine di ordine più alto a quello di ordine più basso, c'è al massimo $1$ radice negativa (regola di Cartesio).

Radici negative: $1$

Passaggio 7

Il numero di radici positive possibili è $2$ o $0$ e il numero di radici negative possibili è $1$ .

Radici positive: $2$ o $0$

Radici negative: $1$