Algebra Esempi

$2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$

Passaggio 1

Imposta $2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$ uguale a $0$ .

$2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $2$ da $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) + 12 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $2$ da $12 x^{3}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 16 x^{2} - 12 x - 18 = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $2$ da $16 x^{2}$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) - 12 x - 18 = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi $2$ da $- 12 x$ .

$2 (x^{4}) + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) - 18 = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$2 x^{4} + 2 (6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Passaggio 2.1.1.6

Scomponi $2$ da $2 x^{4} + 2 (6 x^{3})$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Passaggio 2.1.1.7

Scomponi $2$ da $2 (x^{4} + 6 x^{3}) + 2 (8 x^{2})$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Passaggio 2.1.1.8

Scomponi $2$ da $2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2}) + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 9 = 0$

Passaggio 2.1.1.9

Scomponi $2$ da $2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 9$ .

$2 (x^{4} + 6 x^{3} + 8 x^{2} - 6 x - 9) = 0$

Passaggio 2.1.2

Raggruppa i termini.

$2 (6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $6 x$ da $6 x^{3} - 6 x$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{3}$ .

$2 (6 x (x^{2}) - 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Scomponi $6 x$ da $- 6 x$ .

$2 (6 x (x^{2}) + 6 x (- 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.3.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$2 (6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 (6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

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Passaggio 2.1.5.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$2 (6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.7

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 8 u - 9) = 0$

Passaggio 2.1.8

Scomponi $u^{2} + 8 u - 9$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 9$ e la cui somma è $8$ .

$- 1, 9$

Passaggio 2.1.8.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.10

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.11

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$2 (6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.12

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

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Passaggio 2.1.12.1

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $6 x (x + 1) (x - 1)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.12.2

Scomponi $(x + 1) (x - 1)$ da $(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.13

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.14

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1.14.1

Rimetti in ordine i termini.

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 6 u + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.14.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 6 u + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.14.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Passaggio 2.1.14.4

Riscrivi il polinomio.

$2 ((x + 1) (x - 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.14.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 3$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) {(u + 3)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.15

Scomponi.

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Passaggio 2.1.15.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$2 ((x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.15.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x + 1) (x - 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ vera. La molteplicità di una radice è il numero di volte in cui la radice compare.

$x = - 1$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 1$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 3$ (Molteplicità di $2$ )

$x = - 1$ (Molteplicità di $1$ )

$x = 1$ (Molteplicità di $1$ )

$x = - 3$ (Molteplicità di $2$ )

Passaggio 3