Algebra Esempi

$60 x^{2} - 57 x - 18$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{15}, \pm \frac{1}{20}, \pm \frac{1}{30}, \pm \frac{1}{60}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{2}{15}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{5}, \pm \frac{3}{10}, \pm \frac{3}{20}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{5}, \pm \frac{9}{10}, \pm \frac{9}{20}, \pm 18, \pm \frac{18}{5}$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$60 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = - \frac{1}{4}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$60 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ per $1$ .

$60 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$60 \frac{1}{4^{2}} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$60 (\frac{1}{16}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$4 (15) \frac{1}{16} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.6.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$4 \cdot 15 \frac{1}{4 \cdot 4} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 15 \frac{1}{4 \cdot 4} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$15 (\frac{1}{4}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.7

$15$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{15}{4} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $- 57 (- \frac{1}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 57$ .

$\frac{15}{4} + 57 (\frac{1}{4}) - 18$

Passaggio 4.1.8.2

$57$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{15}{4} + \frac{57}{4} - 18$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 18 + \frac{15 + 57}{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $15$ e $57$ .

$- 18 + \frac{72}{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $72$ per $4$ .

$- 18 + 18$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 18$ e $18$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $- \frac{1}{4}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + \frac{1}{4}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{60 x^{2} - 57 x - 18}{x + \frac{1}{4}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(60)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$

	$60$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(60)$ per il divisore $(- \frac{1}{4})$ e posiziona il risultato di $(- 15)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 57)$ .

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$
	$60$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$
	$60$	$- 72$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 72)$ per il divisore $(- \frac{1}{4})$ e posiziona il risultato di $(18)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 18)$ .

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$	$18$
	$60$	$- 72$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$	$18$
	$60$	$- 72$	$0$

Passaggio 6.7

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$(60) x - 72$

Passaggio 6.8

Semplifica il polinomio quoziente.

$60 x - 72$

Passaggio 7

Scomponi $12$ da $60 x - 72$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $12$ da $60 x$ .

$(x + \frac{1}{4}) (12 (5 x) - 72)$

Passaggio 7.2

Scomponi $12$ da $- 72$ .

$(x + \frac{1}{4}) (12 (5 x) + 12 (- 6))$

Passaggio 7.3

Scomponi $12$ da $12 (5 x) + 12 (- 6)$ .

$(x + \frac{1}{4}) (12 (5 x - 6))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $3$ da $60 x^{2} - 57 x - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scomponi $3$ da $60 x^{2}$ .

$3 (20 x^{2}) - 57 x - 18 = 0$

Passaggio 8.1.2

Scomponi $3$ da $- 57 x$ .

$3 (20 x^{2}) + 3 (- 19 x) - 18 = 0$

Passaggio 8.1.3

Scomponi $3$ da $- 18$ .

$3 (20 x^{2}) + 3 (- 19 x) + 3 (- 6) = 0$

Passaggio 8.1.4

Scomponi $3$ da $3 (20 x^{2}) + 3 (- 19 x)$ .

$3 (20 x^{2} - 19 x) + 3 (- 6) = 0$

Passaggio 8.1.5

Scomponi $3$ da $3 (20 x^{2} - 19 x) + 3 (- 6)$ .

$3 (20 x^{2} - 19 x - 6) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 20 \cdot - 6 = - 120$ e la cui somma è $b = - 19$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Scomponi $- 19$ da $- 19 x$ .

$3 (20 x^{2} - 19 x - 6) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi $- 19$ come $5$ più $- 24$ .

$3 (20 x^{2} + (5 - 24) x - 6) = 0$

Passaggio 8.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (20 x^{2} + 5 x - 24 x - 6) = 0$

Passaggio 8.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$3 ((20 x^{2} + 5 x) - 24 x - 6) = 0$

Passaggio 8.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$3 (5 x (4 x + 1) - 6 (4 x + 1)) = 0$

Passaggio 8.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 1$ .

$3 ((4 x + 1) (5 x - 6)) = 0$

Passaggio 8.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (4 x + 1) (5 x - 6) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$5 x - 6 = 0$

Passaggio 10

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $4 x + 1$ uguale a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $4 x + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 11

Imposta $5 x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $5 x - 6$ uguale a $0$ .

$5 x - 6 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $5 x - 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 x = 6$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x = 6$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (4 x + 1) (5 x - 6) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{6}{5}$

Passaggio 13