Algebra Esempi

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) = 1$

Passaggio 1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{4 x})) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log_{2} (\log_{2} (\sqrt{2^{2} x})) - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Estrai i termini dal radicale.

$\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x})) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta l'argomento in $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 \sqrt{x} \leq 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(2 \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x \leq 0^{2}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x \leq 0$

Passaggio 4.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \leq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \leq 0$ .

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} \leq \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x \leq 0$

Passaggio 5

Imposta l'argomento in $\log_{2} (\log_{2} (2 \sqrt{x}))$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) \leq 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $\log_{2} (2 \sqrt{x}) = 0$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 2 \sqrt{x}$

Passaggio 6.2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi l'equazione come $2 \sqrt{x} = 2^{0}$ .

$2 \sqrt{x} = 2^{0}$

Passaggio 6.2.2.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.2.1.4

Semplifica.

$4 x = {(2^{0})}^{2}$

Passaggio 6.2.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.3.1

Semplifica ${(2^{0})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.3.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{0})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.3.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 2^{0 \cdot 2}$

Passaggio 6.2.2.3.3.1.1.2

Moltiplica $0$ per $2$ .

$4 x = 2^{0}$

Passaggio 6.2.2.3.3.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$4 x = 1$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 1$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.2.2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 6.3

Trova il dominio di $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Imposta l'argomento in $\log_{2} (2 \sqrt{x})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 \sqrt{x} > 0$

Passaggio 6.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${(2 \sqrt{x})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1

Semplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.2.1.4

Semplifica.

$4 x > 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x > 0$

Passaggio 6.3.2.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x > 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x > 0$ .

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} > \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{0}{4}$

Passaggio 6.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x > 0$

Passaggio 6.3.2.4

Trova il dominio di $2 \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.4.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 6.3.2.4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 6.3.2.5

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x > 0$

Passaggio 6.3.3

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 6.3.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(0, \infty)$

Passaggio 6.4

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Passaggio 6.5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (2 \sqrt{- 2}) \leq 0$

Passaggio 6.5.1.3

Il lato sinistro non è uguale al lato destro, il che significa che l'affermazione è falsa.

False

Passaggio 6.5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{1}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.12$

Passaggio 6.5.2.2

Sostituisci $x$ con $0.12$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (2 \sqrt{0.12}) \leq 0$

Passaggio 6.5.2.3

Il lato sinistro di $- 0.52944684$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{1}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 6.5.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\log_{2} (2 \sqrt{3}) \leq 0$

Passaggio 6.5.3.3

Il lato sinistro di $1.79248125$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vero

$x > \frac{1}{4}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{4}$ Vero

$x > \frac{1}{4}$ Falso

Passaggio 6.6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x \leq \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 8

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq \frac{1}{4}$

$(- \infty, \frac{1}{4}]$

Passaggio 9