Algebra Esempi

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 5 x^{2} - 30 x - 50$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$6 x^{3} - 30 x + x^{4} + 5 x^{2} - 50 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $6 x$ da $6 x^{3} - 30 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $6 x$ da $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 30 x + x^{4} + 5 x^{2} - 50 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $6 x$ da $- 30 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 5) + x^{4} + 5 x^{2} - 50 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (x^{2}) + 6 x (- 5)$ .

$6 x (x^{2} - 5) + x^{4} + 5 x^{2} - 50 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 5) + {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 50 = 0$

Passaggio 1.4

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$6 x (x^{2} - 5) + u^{2} + 5 u - 50 = 0$

Passaggio 1.5

Scomponi $u^{2} + 5 u - 50$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 50$ e la cui somma è $5$ .

$- 5, 10$

Passaggio 1.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 x (x^{2} - 5) + (u - 5) (u + 10) = 0$

Passaggio 1.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 10) = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi $x^{2} - 5$ da $6 x (x^{2} - 5) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 10)$ .

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Passaggio 1.7.1

Scomponi $x^{2} - 5$ da $6 x (x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 5) (6 x) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 10) = 0$

Passaggio 1.7.2

Scomponi $x^{2} - 5$ da $(x^{2} - 5) (6 x) + (x^{2} - 5) (x^{2} + 10)$ .

$(x^{2} - 5) (6 x + x^{2} + 10) = 0$

Passaggio 1.8

Riordina i termini.

$(x^{2} - 5) (x^{2} + 6 x + 10) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 x + 10 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x^{2} - 5$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $x^{2} - 5 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 5$

Passaggio 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 3.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 4

Imposta $x^{2} + 6 x + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x^{2} + 6 x + 10$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 6 x + 10 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $x^{2} + 6 x + 10 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 10$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 10)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Passaggio 4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.3

Sottrai $40$ da $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 4.2.3.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm i$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.4.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Passaggio 4.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.3

Sottrai $40$ da $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 4.2.4.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm i$

Passaggio 4.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 3 + i$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 10$ .

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Passaggio 4.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.3

Sottrai $40$ da $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i}{2}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica $\frac{- 6 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 3 \pm i$

Passaggio 4.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 3 - i$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 3 + i, - 3 - i$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x^{2} - 5) (x^{2} + 6 x + 10) = 0$ vera.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}, - 3 + i, - 3 - i$

Passaggio 6