Algebra Esempi

${(x + \frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 1

Il triangolo di Tartaglia può essere visualizzato come segue:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

È possibile utilizzare il triangolo per calcolare i coefficienti dell'espansione di ${(a + b)}^{n}$ prendendo l'esponente $n$ e sommando $1$ . I coefficienti corrisponderanno alla linea $n + 1$ del triangolo. Per ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ , $n = 5$ in modo che i coefficienti dell'espansione corrispondano alla linea $6$ .

Passaggio 2

L'espansione segue la regola ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . I valori dei coefficienti dal triangolo sono $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori effettivi di $a$ $x$ e $b$ $\frac{1}{x}$ nell'espressione.

$1 {(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica ${(x)}^{5}$ per $1$ .

${(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} \frac{1}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} \frac{1}{1} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.5

Dividi $1$ per $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.7

Semplifica.

$x^{5} + 5 x^{4} \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Scomponi $x$ da $5 x^{4}$ .

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.8.2

Elimina il fattore comune.

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.8.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1^{2}}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.11

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Scomponi $x^{2}$ da $10 x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.11.2

Elimina il fattore comune.

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.11.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.12

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1^{3}}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.14

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Scomponi $x^{2}$ da $10 x^{2}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.14.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.14.3

Elimina il fattore comune.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.14.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 \frac{1}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.15

$10$ e $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.16

Semplifica.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.17

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1^{4}}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.18

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.19

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.19.1

Scomponi $x$ da $5 x$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.19.2

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.19.3

Elimina il fattore comune.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.19.4

Riscrivi l'espressione.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.20

$5$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.21

Moltiplica ${(x)}^{0}$ per $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.22

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.23

Moltiplica ${(\frac{1}{x})}^{5}$ per $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(\frac{1}{x})}^{5}$

Passaggio 4.24

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1^{5}}{x^{5}}$

Passaggio 4.25

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$