Algebra Esempi

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ come un'equazione.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\ln (\frac{1}{2})$ come $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $\ln (2)$ da $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Riordina i fattori in $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

Passaggio 3.5

Dividi per $- \ln (2)$ ciascun termine in $- y \ln (2) = \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $- \ln (2)$ ciascun termine in $- y \ln (2) = \ln (x)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Passaggio 5.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.4.1

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

Passaggio 5.3.4.2

Semplifica $- \log_{2} (x)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

Passaggio 5.3.4.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ è l'inverso di $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$