Algebra Esempi

$\ln (e^{\ln (x)}) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (e^{\ln (x)} e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\ln (e^{\ln (x)} e^{\ln (x^{2})})$ come $\ln (e^{\ln (x)}) + \ln (e^{\ln (x^{2})})$ .

$\ln (e^{\ln (x)}) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.3

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $\ln (x)$ dall'esponente.

$\ln (x) \ln (e) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.4

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (x) \cdot 1 + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.5

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.6

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.7

Riscrivi $\ln (x e^{\ln (x^{2})})$ come $\ln (x) + \ln (e^{\ln (x^{2})})$ .

$\ln (x) + \ln (e^{\ln (x^{2})}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.8

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $\ln (x^{2})$ dall'esponente.

$\ln (x) + \ln (x^{2}) \ln (e) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.9

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (x) + \ln (x^{2}) \cdot 1 = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.10

Moltiplica $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$\ln (x) + \ln (x^{2}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.11

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.12

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (x^{1 + 2}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 1.12.2

Somma $1$ e $2$ .

$\ln (x^{3}) = 2 \ln (8)$

Passaggio 2

Semplifica $2 \ln (8)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{3}) = \ln (8^{2})$

Passaggio 3

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

$x^{3} = 8^{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Sottrai $8^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 8^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x^{3} - 1 \cdot 64 = 0$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$x^{3} - 64 = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$x^{3} - 4^{3} = 0$

Passaggio 4.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$(x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 4.6

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 16$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 16$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 4.6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ vera.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$