Algebra Esempi

$x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} + 81 x - 108$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$x^{4} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4} - 9 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 9 x^{2} - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 2.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9 - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 9$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 3^{2}) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$x^{2} ((x + 3) (x - 3)) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) - 5 x^{3} + 81 x - 108$

Passaggio 5

Scomponi $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 108, \pm 2, \pm 54, \pm 3, \pm 36, \pm 4, \pm 27, \pm 6, \pm 18, \pm 9, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 5$

Passaggio 5.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.2, \pm 108, \pm 21.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 54, \pm 10.8, \pm 3, \pm 0.6, \pm 36, \pm 7.2, \pm 4, \pm 0.8, \pm 27, \pm 5.4, \pm 6, \pm 1.2, \pm 18, \pm 3.6, \pm 9, \pm 1.8, \pm 12, \pm 2.4$

Passaggio 5.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$- 5 \cdot 3^{3} + 81 \cdot 3 - 108$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- 5 \cdot 27 + 81 \cdot 3 - 108$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 5$ per $27$ .

$- 135 + 81 \cdot 3 - 108$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $81$ per $3$ .

$- 135 + 243 - 108$

Passaggio 5.3.5

Somma $- 135$ e $243$ .

$108 - 108$

Passaggio 5.3.6

Sottrai $108$ da $108$ .

$0$

Passaggio 5.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{- 5 x^{3} + 81 x - 108}{x - 3}$

Passaggio 5.5

Dividi $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ per $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$81 x$

$108$

Passaggio 5.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 5 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				-	$5 x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			-	$5 x^{3}$	+	$15 x^{2}$

Passaggio 5.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 5 x^{3} + 15 x^{2}$

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$

Passaggio 5.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$

Passaggio 5.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$5 x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Passaggio 5.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$

Passaggio 5.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					-	$15 x^{2}$	+	$45 x$

Passaggio 5.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x^{2} + 45 x$

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$

Passaggio 5.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$

Passaggio 5.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Passaggio 5.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $36 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$

Passaggio 5.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							+	$36 x$	-	$108$

Passaggio 5.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $36 x - 108$

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$

Passaggio 5.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

			-	$5 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
$x$	-	$3$	-	$5 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$81 x$	-	$108$
			+	$5 x^{3}$	-	$15 x^{2}$
					-	$15 x^{2}$	+	$81 x$
					+	$15 x^{2}$	-	$45 x$
							+	$36 x$	-	$108$
							-	$36 x$	+	$108$
										$0$

Passaggio 5.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$- 5 x^{2} - 15 x + 36$

Passaggio 5.6

Scrivi $- 5 x^{3} + 81 x - 108$ come insieme di fattori.

$x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 6

Scomponi $x - 3$ da $x^{2} (x + 3) (x - 3) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Scomponi $x - 3$ da $x^{2} (x + 3) (x - 3)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 6.2

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) (x^{2} (x + 3)) + (x - 3) (- 5 x^{2} - 15 x + 36)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x + 3) - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 7

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 3) (x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 8

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 8.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 3) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 8.2

Somma $2$ e $1$ .

$(x - 3) (x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 9

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} - 5 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 10

Sottrai $5 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36)$

Passaggio 11

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Riscrivi $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scomponi $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 11.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Passaggio 11.1.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 - 2 \cdot 3^{2} - 15 \cdot 3 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 - 2 \cdot 9 - 15 \cdot 3 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.4

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$27 - 18 - 15 \cdot 3 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.5

Sottrai $18$ da $27$ .

$9 - 15 \cdot 3 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.6

Moltiplica $- 15$ per $3$ .

$9 - 45 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.7

Sottrai $45$ da $9$ .

$- 36 + 36$

Passaggio 11.1.1.3.8

Somma $- 36$ e $36$ .

$0$

Passaggio 11.1.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36}{x - 3}$

Passaggio 11.1.1.5

Dividi $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ per $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$15 x$

$36$

Passaggio 11.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$

Passaggio 11.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Passaggio 11.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$

Passaggio 11.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 11.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 11.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$

Passaggio 11.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Passaggio 11.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 12 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$

Passaggio 11.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							-	$12 x$	+	$36$

Passaggio 11.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 12 x + 36$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$

Passaggio 11.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$15 x$	+	$36$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$15 x$
					-	$x^{2}$	+	$3 x$
							-	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	-	$36$
										$0$

Passaggio 11.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x - 12$

Passaggio 11.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 2 x^{2} - 15 x + 36$ come insieme di fattori.

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x - 12))$

Passaggio 11.1.2

Scomponi $x^{2} + x - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Scomponi $x^{2} + x - 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $1$ .

$- 3, 4$

Passaggio 11.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) ((x - 3) ((x - 3) (x + 4)))$

Passaggio 11.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) ((x - 3) (x - 3) (x + 4))$

Passaggio 11.1.3

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 4))$

Passaggio 11.1.3.2

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 4))$

Passaggio 11.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x - 3) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 4))$

Passaggio 11.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x - 3) ({(x - 3)}^{2} (x + 4))$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Passaggio 12

Moltiplica $x - 3$ per ${(x - 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $x - 3$ per ${(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

${(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} (x + 4)$

Passaggio 12.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 3)}^{1 + 2} (x + 4)$

Passaggio 12.2

Somma $1$ e $2$ .

${(x - 3)}^{3} (x + 4)$