Algebra Esempi

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} = \frac{x - 1}{x - 2}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x - 1}{x - 2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{4}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 2}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{1}{x + 2} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}) - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 2}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} = 0$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $\frac{x - 1}{x - 2}$ per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - (\frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) = 0$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $\frac{x - 1}{x - 2}$ per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = 0$

Passaggio 2.2.5

Riordina i fattori di $(x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{4}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x - 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - (x - 2) - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 - x - - 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 - x + 2 + (- x - - 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 + (- x + 1) (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.5

Espandi $(- x + 1) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x (x + 2) + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 - x + 2 - x \cdot x - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.6

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.4.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.6.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.6.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - (x \cdot x) - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.6.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.6.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.6.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 1 \cdot 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.6.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - 2 x + x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.4.6.2

Somma $- 2 x$ e $x$ .

$\frac{4 - x + 2 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.5

Somma $4$ e $2$ .

$\frac{- x + 6 - x^{2} - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.6

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{- 2 x + 6 - x^{2} + 2}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.7

Somma $6$ e $2$ .

$\frac{- 2 x - x^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$\frac{- 2 u - u^{2} + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.8.2.1

Riordina i termini.

$\frac{- u^{2} - 2 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ e la cui somma è $b = - 2$ .

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Passaggio 2.8.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 u$ .

$\frac{- u^{2} - 2 (u) + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2.2.2

Riscrivi $- 2$ come $2$ più $- 4$ .

$\frac{- u^{2} + (2 - 4) u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- u^{2} + 2 u - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.8.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- u^{2} + 2 u) - 4 u + 8}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{u (- u + 2) + 4 (- u + 2)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 2$ .

$\frac{(- u + 2) (u + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.9

Elimina il fattore comune di $- x + 2$ e $x - 2$ .

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Passaggio 2.9.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.9.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.9.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.9.4

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.9.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Passaggio 2.9.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 (x + 4)}{x + 2} = 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x + 4}{x + 2} = 0$

Passaggio 3

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 4 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$