Algebra Esempi

${(z^{2} + 4 z)}^{2} + 7 (z^{2} + 4 z) + 12 = 0$

Passaggio 1

Sia $u = z^{2} + 4 z$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $z^{2} + 4 z$ con $u$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $u^{2} + 7 u + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $7$ .

$3, 4$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $z^{2} + 4 z$ .

$(z^{2} + 4 z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

Passaggio 4

Scomponi $z^{2} + 4 z + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

Passaggio 5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 2^{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 z = 2 \cdot z \cdot 2$

Passaggio 5.3

Riscrivi il polinomio.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = z$ e $b = 2$ .

$(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 3 = 0$

${(z + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 7

Imposta $z + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $z + 1$ uguale a $0$ .

$z + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 1$

Passaggio 8

Imposta $z + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $z + 3$ uguale a $0$ .

$z + 3 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 3$

Passaggio 9

Imposta ${(z + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $z$ .

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Passaggio 9.1

Imposta ${(z + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(z + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi ${(z + 2)}^{2} = 0$ per $z$ .

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Passaggio 9.2.1

Poni $z + 2$ uguale a $0$ .

$z + 2 = 0$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$z = - 2$

Passaggio 10

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$ vera.

$z = - 1, - 3, - 2$