Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 2)}^{2} - 9$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

$\frac{1}{4}$ e ${(x + 2)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x + 2)}^{2}}{4} - 9$

Passaggio 1.1.2

Riordina i termini.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 2)}^{2} - 9$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = - 9$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 2, - 9)$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica dividendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Dividi $4$ per $4$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, - 8)$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 2$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - 10$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 2, - 9)$

Fuoco: $(- 2, - 8)$

Asse di simmetria: $x = - 2$

Direttrice: $y = - 10$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 2, - 9)$

Fuoco: $(- 2, - 8)$

Asse di simmetria: $x = - 2$

Direttrice: $y = - 10$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} - 4 - 8$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} - 4 - 8$

Passaggio 2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scrivi $- 4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{- 4}{1} - 8$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4} - 8$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 4}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 8$

Passaggio 2.2.2.4

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{- 8}{1}$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 4 \cdot 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 16 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$f (- 4) = \frac{16 - 16 - 32}{4}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sottrai $16$ da $16$ .

$f (- 4) = \frac{0 - 32}{4}$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $32$ da $0$ .

$f (- 4) = \frac{- 32}{4}$

Passaggio 2.2.5.3

Dividi $- 32$ per $4$ .

$f (- 4) = - 8$

Passaggio 2.2.6

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 4$ è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} - 3 - 8$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} - 3 - 8$

Passaggio 2.5.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{- 3}{1} - 8$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 8$

Passaggio 2.5.2.3

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} - 8$

Passaggio 2.5.2.4

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{- 8}{1}$

Passaggio 2.5.2.5

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.5.2.6

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2} - 3 \cdot 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 3 \cdot 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.5.4.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12 - 32}{4}$

Passaggio 2.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Sottrai $12$ da $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3 - 32}{4}$

Passaggio 2.5.5.2

Sottrai $32$ da $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 35}{4}$

Passaggio 2.5.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - \frac{35}{4}$

Passaggio 2.5.6

La risposta finale è $- \frac{35}{4}$ .

$- \frac{35}{4}$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 3$ è $- \frac{35}{4}$ .

$y = - \frac{35}{4}$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{4} + 0 - 8$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{4} + 0 - 8$

Passaggio 2.8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{0}{4} + 0 - 8$

Passaggio 2.8.2.2

Dividi $0$ per $4$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8$

Passaggio 2.8.3

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 8$

Passaggio 2.8.3.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$f (0) = - 8$

Passaggio 2.8.4

La risposta finale è $- 8$ .

$- 8$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 0$ è $- 8$ .

$y = - 8$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - 1 - 8$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - 1 - 8$

Passaggio 2.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Scrivi $- 1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{1} - 8$

Passaggio 2.11.2.2

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} - 8$

Passaggio 2.11.2.3

Moltiplica $\frac{- 1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} - 8$

Passaggio 2.11.2.4

Scrivi $- 8$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 8}{1}$

Passaggio 2.11.2.5

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 2.11.2.6

Moltiplica $\frac{- 8}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2} - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.11.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 - 8 \cdot 4}{4}$

Passaggio 2.11.4.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 - 32}{4}$

Passaggio 2.11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.5.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 - 32}{4}$

Passaggio 2.11.5.2

Sottrai $32$ da $- 3$ .

$f (- 1) = \frac{- 35}{4}$

Passaggio 2.11.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{35}{4}$

Passaggio 2.11.6

La risposta finale è $- \frac{35}{4}$ .

$- \frac{35}{4}$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $- \frac{35}{4}$ .

$y = - \frac{35}{4}$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 8 \\ - 3 & - \frac{35}{4} \\ - 2 & - 9 \\ - 1 & - \frac{35}{4} \\ 0 & - 8 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 2, - 9)$

Fuoco: $(- 2, - 8)$

Asse di simmetria: $x = - 2$

Direttrice: $y = - 10$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 8 \\ - 3 & - \frac{35}{4} \\ - 2 & - 9 \\ - 1 & - \frac{35}{4} \\ 0 & - 8 \end{array}$

Passaggio 4