Algebra Esempi

$\log_{3} (x) + \log_{3} (x^{2} + 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (x (x^{2} + 2)) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\log_{3} (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 1.3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{3} (x^{1 + 2} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\log_{3} (x^{3} + x \cdot 2) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) = 1 + 2 \log_{3} (x)$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x) = 1$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\log_{3} (x^{3} + 2 x) - 2 \log_{3} (x)$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica $- 2 \log_{3} (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{3} (x^{3} + 2 x) - \log_{3} (x^{2}) = 1$

Passaggio 3.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{3} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $x$ da $x^{3} + 2 x$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + 2 x}{x^{2}}) = 1$

Passaggio 3.1.3.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\log_{3} (\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 2}{x^{2}}) = 1$

Passaggio 3.1.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 2$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x^{2}}) = 1$

Passaggio 3.1.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\log_{3} (\frac{x (x^{2} + 2)}{x \cdot x}) = 1$

Passaggio 3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$

Passaggio 4

Riscrivi $\log_{3} (\frac{x^{2} + 2}{x}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x^{2} + 2}{x}$

Passaggio 5

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x^{2} + 2 = 3 (x)$

Passaggio 6

Moltiplica $3$ per $x$ .

$x^{2} + 2 = 3 x$

Passaggio 7

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 - 3 x = 0$

Passaggio 8

Scomponi $x^{2} + 2 - 3 x$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 8.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 9

Semplifica $(x - 2) (x - 1)$ .

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Passaggio 9.1

Espandi $(x - 2) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0$

Passaggio 9.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 0$

Passaggio 9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 0$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $2 x$ da $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Passaggio 10

Scomponi $x^{2} - 3 x + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 10.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 13

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 2) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 2, 1$