Algebra Esempi

$2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2} - 125 x - 500$

Passaggio 1

Raggruppa i termini.

$- 125 x - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2

Scomponi $- 125$ da $- 125 x - 500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $- 125$ da $- 125 x$ .

$- 125 (x) - 500 + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2.2

Scomponi $- 125$ da $- 500$ .

$- 125 (x) - 125 (4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2.3

Scomponi $- 125$ da $- 125 (x) - 125 (4)$ .

$- 125 (x + 4) + 2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 3

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4} + 23 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{4}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + 23 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 3.2

Scomponi $x^{2}$ da $23 x^{3}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + 60 x^{2}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2}$ da $60 x^{2}$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x) + x^{2} \cdot 60$

Passaggio 3.4

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (23 x)$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$

Passaggio 3.5

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x^{2} + 23 x) + x^{2} \cdot 60$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 x + 60)$

Passaggio 4

Scomponi.

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Passaggio 4.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 60 = 120$ e la cui somma è $b = 23$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $23$ da $23 x$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 23 (x) + 60)$

Passaggio 4.1.1.2

Riscrivi $23$ come $8$ più $15$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + (8 + 15) x + 60)$

Passaggio 4.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x^{2} + 8 x + 15 x + 60)$

Passaggio 4.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((2 x^{2} + 8 x) + 15 x + 60)$

Passaggio 4.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (2 x (x + 4) + 15 (x + 4))$

Passaggio 4.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 4$ .

$- 125 (x + 4) + x^{2} ((x + 4) (2 x + 15))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Passaggio 5

Scomponi $x + 4$ da $- 125 (x + 4) + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $x + 4$ da $- 125 (x + 4)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$

Passaggio 5.2

Scomponi $x + 4$ da $x^{2} (x + 4) (2 x + 15)$ .

$(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$

Passaggio 5.3

Scomponi $x + 4$ da $(x + 4) \cdot - 125 + (x + 4) (x^{2} (2 x + 15))$ .

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x + 15))$

Passaggio 6

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 4) (- 125 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 15)$

Passaggio 7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 15)$

Passaggio 8

Sposta $15$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{2} x + 15 \cdot x^{2})$

Passaggio 9

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 9.1

Sposta $x$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Passaggio 9.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 9.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot x^{2})$

Passaggio 9.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{1 + 2} + 15 \cdot x^{2})$

Passaggio 9.3

Somma $1$ e $2$ .

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 \cdot x^{2})$

$(x + 4) (- 125 + 2 x^{3} + 15 x^{2})$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$(x + 4) (2 x^{3} + 15 x^{2} - 125)$

Passaggio 11

Scomponi.

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Passaggio 11.1

Riscrivi $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 11.1.1

Scomponi $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 11.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 11.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 25, \pm 12.5$

Passaggio 11.1.1.3

Sostituisci $- 5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 11.1.1.3.1

Sostituisci $- 5$ nel polinomio.

$2 {(- 5)}^{3} + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Passaggio 11.1.1.3.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 125 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Passaggio 11.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 125$ .

$- 250 + 15 {(- 5)}^{2} - 125$

Passaggio 11.1.1.3.4

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$- 250 + 15 \cdot 25 - 125$

Passaggio 11.1.1.3.5

Moltiplica $15$ per $25$ .

$- 250 + 375 - 125$

Passaggio 11.1.1.3.6

Somma $- 250$ e $375$ .

$125 - 125$

Passaggio 11.1.1.3.7

Sottrai $125$ da $125$ .

$0$

Passaggio 11.1.1.4

Poiché $- 5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 5$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} + 15 x^{2} - 125}{x + 5}$

Passaggio 11.1.1.5

Dividi $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ per $x + 5$ .

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Passaggio 11.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$15 x^{2}$

$0 x$

$125$

Passaggio 11.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$

Passaggio 11.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			+	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Passaggio 11.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 11.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $5 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Passaggio 11.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$25 x$

Passaggio 11.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $5 x^{2} + 25 x$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$

Passaggio 11.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$

Passaggio 11.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Passaggio 11.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 25 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$

Passaggio 11.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							-	$25 x$	-	$125$

Passaggio 11.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 25 x - 125$

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$

Passaggio 11.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	+	$5 x$	-	$25$
$x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$15 x^{2}$	+	$0 x$	-	$125$
			-	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$25 x$
							-	$25 x$	-	$125$
							+	$25 x$	+	$125$
										$0$

Passaggio 11.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} + 5 x - 25$

Passaggio 11.1.1.6

Scrivi $2 x^{3} + 15 x^{2} - 125$ come insieme di fattori.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 x - 25))$

Passaggio 11.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ e la cui somma è $b = 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.1.1

Scomponi $5$ da $5 x$ .

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + 5 (x) - 25))$

Passaggio 11.1.2.1.1.2

Riscrivi $5$ come $- 5$ più $10$ .

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} + (- 5 + 10) x - 25))$

Passaggio 11.1.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25))$

Passaggio 11.1.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x^{2} - 5 x) + 10 x - 25))$

Passaggio 11.1.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x + 4) ((x + 5) (x (2 x - 5) + 5 (2 x - 5)))$

Passaggio 11.1.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 5$ .

$(x + 4) ((x + 5) ((2 x - 5) (x + 5)))$

Passaggio 11.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 4) ((x + 5) (2 x - 5) (x + 5))$

Passaggio 11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 4) (x + 5) (2 x - 5) (x + 5)$

Passaggio 12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} (x + 5)) (2 x - 5)$

Passaggio 12.2

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$(x + 4) ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}) (2 x - 5)$

Passaggio 12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(x + 4) {(x + 5)}^{1 + 1} (2 x - 5)$

Passaggio 12.4

Somma $1$ e $1$ .

$(x + 4) {(x + 5)}^{2} (2 x - 5)$